你应该知道的浮点数基础知识本文从一个有趣而又令人意外的实验展开，介绍一些关于浮点数你应该知道的基础知识
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一个有趣的实验本文从一个有趣而诡异的实验开始。最早这个例子博主是从 Stackoverflow上的一个问题中看到的。为了提高可读性，博主这里做了改写，简化成了以下两段代码：
#include <iostream>#include <string>using namespace std;int main() { const float x=1.1; const float z=1.123; float y=x; for(int j=0;j<90000000;j++) { y*=x; y/=z; y+=0.1f; y-=0.1f; } return 0;}
#include <iostream>#include <string>using namespace std;int main() { const float x=1.1; const float z=1.123; float y=x; for(int j=0;j<90000000;j++) { y*=x; y/=z; y+=0; y-=0; } return 0;}
上面两段代码的唯一差别就是第一段代码中y+=0.1f，而第二段代码中是y+=0。由于y会先加后减同样一个数值，照理说这两段代码的作用和效率应该是完全一样的,当然也是没有任何逻辑意义的。假设现在我告诉你：其中一段代码的效率要比另一段慢7倍。想必读者会认为一定是y+=0.1f的那段慢，毕竟它和y+=0相比看上去要多一些运算。但是，实验结果，却出乎意料， y+=0的那段代码比y+=0.1f足足慢了7倍。{: style="color: red" } 。世界观被颠覆了有木有？博主是在自己的Macbook PRo上进行的测试，有兴趣的读者也可以在自己的笔记本上试试。（只要是支持SSE2指令集的CPU都会有相似的结果）。
shell> g++ code1.c -o test1shell> g++ code2.c -o test2shell> time ./test1real 0m1.490suser 0m1.483ssys 0m0.003sshell>?time ./test2real 0m9.895suser 0m9.871ssys 0m0.009s
当然 原文中的投票最高的回答解释的非常好，但博主第一次看的时候是一头雾水，因为大部分基础知识已经还给大学老师了。所以，本着知其然还要知其所以然的态度，博主做了一个详尽的分析和思路整理过程。也希望读者能够从0开始解释这个诡异现象的原因。
复习浮点数的二进制转换现在让我们复习大学计算机基础课程。如果你熟练掌握了浮点数向二进制表达式转换的方法，那么你可以跳过这节。我们先来看下浮点数二进制表达的三个组成部分。
三个主要成分是：
Sign（1bit）：表示浮点数是正数还是负数。0表示正数，1表示负数Exponent（8bits）：指数部分。类似于科学技术法中的M*10^N中的N，只不过这里是以2为底数而不是10。需要注意的是，这部分中是以2^7-1即127，也即01111111代表2^0，转换时需要根据127作偏移调整。Mantissa（23bits）：基数部分。浮点数具体数值的实际表示。下面我们来看个实际例子来解释下转换过程。Step 1 改写整数部分以数值5.2为例。先不考虑指数部分，我们先单纯的将十进制数改写成二进制。整数部分很简单，5.即101.。
Step 2 改写小数部分小数部分我们相当于拆成是2^-1一直到2^-N的和。例如：0.2 = 0.125+0.0625+0.007825+0.00390625即2^-3+2^-4+2^-7+2^-8....，也即.00110011001100110011
Step 3 规格化现在我们已经有了这么一串二进制101.00110011001100110011。然后我们要将它规格化，也叫Normalize。其实原理很简单就是保证小数点前只有一个bit。于是我们就得到了以下表示：1.0100110011001100110011 * 2^2。到此为止我们已经把改写工作完成，接下来就是要把bit填充到三个组成部分中去了。
Step 4 填充指数部分（Exponent）：之前说过需要以127作为偏移量调整。因此2的2次方，指数部分偏移成2+127即129，表示成10000001填入。整数部分（Mantissa）：除了简单的填入外，需要特别解释的地方是1.010011中的整数部分1在填充时被舍去了。因为规格化后的数值整部部分总是为1。那大家可能有疑问了，省略整数部分后岂不是1.010011和0.010011就混淆了么？其实并不会，如果你仔细看下后者：会发现他并不是一个规格化的二进制，可以改写成1.0011 * 2^-2。所以省略小数点前的一个bit不会造成任何两个浮点数的混淆。具体填充后的结果见下图
练习：如果想考验自己是否充分理解这节内容的话，可以随便写一个浮点数尝试转换。通过 浮点二进制转换工具可以验证答案。
什么是Denormalized Number了解完浮点数的表达以后，不难看出浮点数的精度和指数范围有很大关系。最低不能低过2^-7-1最高不能高过2^8-1（其中剔除了指数部分全0喝全1的特殊情况）。那么当我们要表示一个例如：1.00001111*2^-7这样的超小数值的时候就无法用规格化数值表示，只能用0来代替。那么，这样做有什么问题呢？最容易理解的一种副作用就是：当多次做低精度浮点数舍弃的时候，就会出现除数为0的exception，导致异常。
于是乎就出现了Denormalized Number（后称非规格化浮点）。他和规格浮点的区别在于，规格浮点约定小数点前一位默认是1。而非规格浮点约定小数点前一位可以为0，这样小数精度就相当于多了最多2^22范围。
但是，精度的提升是有代价的。由于CPU硬件只支持，或者默认对一个32bit的二进制使用规格化解码。因此需要支持32bit非规格数值的转码和计算的话，需要额外的编码标识，也就是需要额外的硬件或者软件层面的支持。以下是wiki上的两端摘抄，说明了非规格化计算的效率非常低。> 一般来说，由软件对非规格化浮点数进行处理将带来极大的性能损失，而由硬件处理的情况会稍好一些，但在多数现代处理器上这样的操作仍是缓慢的。极端情况下，规格化浮点数操作可能比硬件支持的非规格化浮点数操作快100倍。
For example when using NVIDIA's CUDA platform, on gaming cards, calculations with double precision take 3 to 24 times longer to complete than calculations using single precision.
如果要解释为什么有如此大的性能损耗，那就要需要涉及电路设计了，超出了博主的知识范围。当然万能的wiki也是有答案的，有兴趣的读者可以自行查阅。
回到实验总上面的分析中我们得出了以下结论：
浮点数表示范围有限，精度受限于指数和底数部分的长度，超过精度的小数部分将会被舍弃（underflow）为了表示更高精度的浮点数，出现了非规格化浮点数，但是他的计算成本非常高。于是我们就可以发现通过几十上百次的循环后，y中存放的数值无限接近于零。CPU将他表示为精度更高的非规格化浮点。而当y+0.1f时为了保留跟重要的底数部分，之后无限接近0（也即y之前存的数值）被舍弃，当y-0.1f后，y又退化为了规格化浮点数。并且之后的每次y*x和y/z时，CPU都执行的是规划化浮点运算。而当y+0，由于加上0值后的y仍然可以被表示为非规格化浮点，因此整个循环的四次运算中CPU都会使用非规格浮点计算，效率就大大降低了。
其他当然，也有在程序内部也是有办法控制非规范化浮点的使用的。在相关程序的上下文中加上fesetenv(FE_DFL_DISABLE_SSE_DENORMS_ENV);就可以迫使CPU放弃使用非规范化浮点计算，提高性能。我们用这种办法修改上面实验中的代码后，y+=0的效率就和y+=0.1f就一样了。甚至还比y+=0.1f更快了些，世界观又端正了不是么:) 修改后的代码如下
#include <iostream>#include <string>#include <fenv.h>using namespace std;int main() { fesetenv(FE_DFL_DISABLE_SSE_DENORMS_ENV); const float x=1.1; const float z=1.123; float y=x; for(int j=0;j<90000000;j++) { y*=x; y/=z; y+=0; y-=0; } return 0;}
Reference什么是非规格化浮点数Why does changing 0.1f to 0 slow down performance by 10x?IEEE floating pointFloating pointDenormal number
