素数筛法--SPOJProblem2PrimeGenerator

质数(PRime number)又称素数，除了1和它本身外，不能整除以其他自然数，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则称为合数。最小的质数是2。

要判断一个整数N是不是质数很简单，看它是否能被2到sqrt(N)之间的整数整除即可。

def isPrime(n):

if n%2==0:

return False

for i in xrange(3,int(math.sqrt(n)+1),2):

if n%i==0:

return False

return True

不过要找出1到N之间的所有质数时，一个个的判定显然不是一个好主意。由于合数可以分解成一系列质数之积，所以1到N之间的合数都是1到sqrt(N)之间某个质数的倍数，排除这些合数，剩余的即为质数：

import math

import timeit

def findPrime(n):

a=[True]*(n+1)

a[0]=False

a[1]=False

for i in xrange(2,int(math.sqrt(n)+1)):

if a[i]:

k=i*i

while k<=n:

a[k]=False

k=k+i

if __name__=='__main__':

t=timeit.Timer('findPrime(2000000)','from __main__ import findPrime')

print t.timeit(1)

算法从2开始判断是否为质数，并排除质数的倍数，当2至i都被判断后，i+1是否为质数已很明确。

SPOJ Problem 2 Prime Generator要求找出n至m之间的质数，其中1 <= m <= n <= 1000000000, n-m<=100000。

这种情况下建一个1000000000长度的序列就太浪费空间了，需要先找出1至sqrt(n)之间的质数，然后将n与m之间这些质数的倍数排除：

import math

def findPrime(n):

a=[True]*(n+1)

a[0]=False

a[1]=False

for i in xrange(2,int(math.sqrt(n)+1)):

if a[i]:

k=i*i

while k<=n:

a[k]=False

k=k+i

for i in xrange(2,n+1):

if a[i]:

yield i

def findPrimeBySeed(n,m):

if n==1:

n=2

seed=findPrime(int(math.sqrt(m)))

alist=[1]*(m-n+1)

for prime in seed:

if prime<n:

k=(prime-n%prime)%prime

else:

k=2*prime-n

while k<=m-n:

alist[k]=False

k+=prime

for i in xrange(m-n+1):

if alist[i]:

print i+n

if __name__=='__main__':

line=int(raw_input())

for i in xrange(line):

n,m=raw_input().split()

findPrimeBySeed(int(n),int(m))

print