实分析与概率论（原书第2版）
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作者： （美）达德利（Dudley，R.M.）著；赵选民，孙浩译
出 版 社： 机械工业出版社
出版时间： 2008-6-1字数：版次： 1页数： 374印刷时间： 2008/06/01开本： 16开印次： 1纸张： 胶版纸I S B N ： 9787111234807包装： 平装编辑推荐
本书在两个方面获得了极佳的成功。一是它是一本全面、新颖的实分析教程，二是它是一本教学理论完整和自成体系的概率论教程。本书元疑给出了一种严谨和完整的新标准。
——美国数学会公报
这是一本非凡的著作。在教学和参考两个方面，本书将成为一本标准化教材，它全面地介绍了实分析的必备知识，且证明贯穿全书。书中的一些主题和征明极少在其他教科书中见到。
——爱丁堡数学会学报
严谨、精深、新颖，这是一本适用于数学专业研究生的教材。
——ISI的简短书评
这是一本广受称赞的教科书，清晰地讲解了现代概率论以及概率测度与度量空间之间的相互关系。本书分为两部分：第一部分介绍了实分析的内容，包括基础集合论、一般拓扑、测度、积分、巴拿赫空间及希尔伯特空间上的泛函分析、凸集和函数，以及拓扑空间上的测度。第二部分介绍了基于测度论的概率方面的内容，包括大数定律、遍历定理、中心极限定理、条件期望、鞅收敛。另外，随机过程一章介绍了布朗运动以及布朗桥。
与前版相比，本版内容更加丰富、完整，包括了实数系的基础知识和代数中一致逼近的斯通-魏尔斯特拉斯定理，修订和改进了几节的内容，扩充了大量历史注释，添加了一些新的习题，以及习题的解题提示。
内容简介
本书清晰地讲解了现代概率论以及概率测度与度量空间之间的相互关系，本书分两部分，第一部分介绍了实分析的内容，包括基础集合论、一般拓扑、测度、积分、巴拿赫空间及希尔伯特空间上的函数分析、凸集和函数以及拓扑空间上的测度，第二部分介绍了基于测度论卜的概率论，包括大数定律、遍历定理、中心极限定理、条件期望、鞅收敛另外，随机过程一章介绍了布朗运动以及布朗桥。
本书适合干概率论与数理统计方向的研究生，以及与之相关的研究生阅读，也适合于数学系高年级学生以及数学研究工作者参考使用。
目录
译者序
前言
第1章基础知识：集合论
1.1集合论的定义和实数系
1.2关系和序
1.3超限归纳和递归
1.4势
1.5选择公理及其等价形式
第2章一般拓扑
2.1拓扑、度量和连续性
2.2紧性与积拓扑
2.3完备度量空间和紧度量空间
2.4函数空间的一些度量
2.5度量空间的完备化和完备性
2.6连续函数的扩张
2.7一致性与一致空间
2.8紧化
第3章测度
3.1测度初步
3.2半环和环
3.3测度的完备化
3.4勒贝格测度和不可测集
3.5原子测度和非原子测度
第4章积分
4.1简单函数
4.2可测性
4.3积分收敛定理
4.4乘积测度
4.5丹尼尔一斯通积分
第5章Lp空间：泛函分析引论
5.1积分不等式
5.2Lp空间的范数及完备性
5.3希尔伯特空间
5.4规范正交集和规范正交基
5.5希尔伯特空间上的线性型、Lp空间的包含关系及这两个度量之间的关系
5.6符号测度
第6章范数空间的凸集和对偶性
6.1利普希茨函数、连续函数及有界函数
6.2凸集及其分离性
6.3凸函数
6.4Lp空间的对偶性
6.5一致有界性及闭图形
6.6Brunn-Minkowski不等式
第7章测度、拓扑与微分
7.1贝尔a代数、博雷尔a代数和测度正则性
7.2勒贝格微分定理
7.3正则性扩张
7.4C(K)的对偶和傅里叶级数
7.5几乎一致收敛和Lusin定理
第8章概率论初步
8.1基本定义
8.2概率空间的无穷积
8.3大数定律
8.4遍历定理
第9章依L收敛与中心极限定理
9.1分布函数和密度函数
9.2随机变量的收敛性
9.3依分布收敛
9.4特征函数
9.5特征函数的唯一性和中心极限定理
9.6三角形阵列和林德伯格定理
9.7独立实值随机变量的和
9.8莱维连续性定理：无穷可分法则及稳定法则
第10章条件期望和鞅
10.1条件期望
10.2正则条件概率和詹森不等式
10.3鞅
10.4最优停止和一致可积性
10.5鞅和下鞅的收敛性
10.6逆鞅和逆下鞅
10.7次加性遍历定理和超加性遍历定理
第11章可分度量空间上的依L收敛
11.1法则和收敛性
11.2利普希茨函数
11.3依L收敛的度量
11.4经验测度收敛
11.5胎紧性和一致胎紧性
11.6斯特拉森定理：具有邻近法则的邻近变量
11.7法则的一致性和几乎必然收敛的实现
11.8Kantorvich—Rubinstein定理
11.9u-统计量
第12章随机过程
12.1过程的存在性和布朗运动
12.2布朗运动的强马尔可夫性质
12.3反射原理、布朗桥和上确界定律
12.4在马尔可夫时布朗运动的法则：斯科罗霍德嵌入
12.5重对数律
第13章可测性：博雷尔同构和解析集
13.1博雷尔同构
13.2解析集
附录A公理化集合论
附录B复数、向量空间和泰勒余项定理
附录C测度问题
附录D非负项的重排和
附录E非度量紧空间的病态性
名词索引
符号索引
书摘插图
第1章基础知识：集合论
在建造房子时，建设者会用与房子其他部分不一样的材料和方法来打造地基。同样，几乎每一个数学分支都以公理集合论作为其基础。这个基础被大多数关注基础理论的逻辑学家和数学家所接受，但是只有少数数学家有时间或意愿去详细研究公理集合论。
做另一个比喻，高级计算机语言和用它们编写的程序建立了计算机硬件和软件的基础。但是，编写高级计算机程序的人需要了解多少计算机硬件和操作系统的知识则取决于他手边的问题。
在现代实分析中，集合论的问题比以前代数、复分析、几何和应用数学中的问题要多。例如，在实分析中相对较近发展的“非标准分析”许正数可以无限小但不为零。非标准分析比早期发展的实分析更强地依赖于集合论的特性。
本章将介绍本书后面要用到的一些集合论符号和概念。换句话说，本章只给出最基本的集合论知识。附录A较详细地介绍了集合论，包括一些集合论公理，但是本书不打算介绍非标准分析或者更深入地讨论集合论。
本章所定义的许多概念在以后的章节里都要用到，希望读者能熟记。
1.1 集合论的定义和实数系
定义至少有两个目的。首先，就像一本普通字典一样，定义试图给出见解，传达一种思想，或者用熟悉的概念去解释陌生的概念，但并不详尽说明或彻底研究所定义单词的全部意义。我们称这厂种定义为非形式(informal)定义。在大多数数学和其他科学领域中，形式（formal）定义是完全准确的，因此，人们可以科学地判断一个有关命题的真伪。在形式定义中，一个熟悉的术语（例如，普通的长度单位或数字）可以用不熟悉的术语定义。集合论中的大多数定义都是形式的。其次，集合论的另一个目的是不但为自己也为所有数学分支提供清晰的逻辑结构。由此就产生从哪里开始定义的问题。
非形式的字典定义常常由一些同义词组成。例如，字典中用“high”和“tall”相互定义，这种定义方法对于知道其中一个词的人来说是有帮助的，但是对于一个通过字典学习英语的人来说，这样的定义是无用的。这种情况在一定程度上反映了人们在学习中所遇到的困难，因为字典中所有单词都是用其他单词来定义的。因此，人们在开始时应至少弄清字典中一些单词的意思，而不是在用到时才去翻字典。
……
