1.设M(0.-5),N(0,5),△MNP的周长为36,则△MNP的顶点P的轨迹方程是?
2.已知P是椭圆x^2/5+Y^2/4=1上一点,F1和F2是焦点,若∠F1PF2=30°,则△PF1F2的面积是.
1.x^2/144+y^2/169=1(x≠0)
2.4(2-√3)(1)因为|MN|=10,所以|PM|+|PN|=36-10=26,又因为26>10,所以满足椭圆的第一定义,且2a=26,c=5,所以a=13,c=5,所以a平方=169,b平方=a平方-c平方=144,而该椭圆的焦点M,N在y轴上,故P点的轨迹方程是:x平方/144+y平方/169=1;
(2)设|PF1|=m,|PF2|=n,则根据椭圆的定义有m+n=2a=2根号5,所以m平方+2mn+n平方=20(*) ,在三角形PF1F2中,用余弦定理有4=m平方+n平方-2mncos30度=m平方+n平方-(根号3)mn(**),(*)-(**)得(2+根号3)mn=16,所以mn=16(2-根号3),所以面积S=1/2mnsin30度=1/4mn=8-4根号3.
(1)因为|MN|=10 并且|PM|+|PN|=36-10=26,根据椭圆的定义及性质,知该轨迹应是长轴再纵轴上的椭圆，且2a=26,2c=10,b^2=a^2-c^2=144,2b=24.其方程为： x^2/144+y^2/169=1(x不等于0).(因为x=0时P、M、N三点共线，不构成三角形)
（2）根据椭圆定义，(a=5^.5,b=2,c=1.)设|PF1|=m,|PF2|=n，m+n=2*5^(1/2)……(*)
三角形F1PF2中，根据余弦定理得m^2+n^2-2mncos30=2^2,m^2+n^2-mn根号3=4……(#)
(*)^2-(#)得: (2+3^.5)mn=16,mn=16*(2-3^.5)。
所以三角形面积S=mn/2*sin30=mn/4=4(2-3^.5)。
p(x,y),PM+PN=36-MN=26，根据定义，p点轨迹为椭圆，c=5， 令y=0，
（a-5）+（a+5）=26，a=13，a*a=b*b+c*c，b*b=12*12
x*x/13*13+y*y/12*12=1