已知{An},{Bn}是项数相同的两个等差数列。那么{PAn+QBn}是不是等差数列（其中P，Q是常数）请问如何证明？
注：n为角标.
证；
设An=a1+（n-1）d1,Bn=b1+(n-1)d2,其中d1,d2为公差，
PAn+QBn=P*a1+P*（n-1）d1+Q*b1+Q*(n-1)d2
=P*a1+Q*b1+P*（n-1）d1+Q*(n-1)d2
=(P*a1+Q*b1)+(n-1)*(P*d1+Q*d2)
可设首项=P*a1+Q*b1,公差=P*d1+Q*d2
所以，是新的等差数列
证明：
假设An-A(n-1)=p,Bn-B(n-1)=q
p,q为常数
那么对于数列｛PAn+QBn｝
〔PAn+QBn〕-〔PA(n-1)+QB(n-1)〕
=P〔An-A(n-1)〕+Q〔Bn-B(n-1)〕
=Pp+Qq
因为 P,Q,p,q都是常数
所以 Pp+Qq也是常数
那么 数列｛PAn+QBn｝是等差数列
完毕。如何？
设{An}的公差是a,{Bn}的公差是b
那么对于数列｛PAn+QBn｝
〔PAn+QBn〕-〔PA(n-1)+QB(n-1)〕
=P〔An-A(n-1)〕+Q〔Bn-B(n-1)〕
=Pa+Qb
因为 P,Q,a,b都是常数
所以 Pa+Qb也是常数
那么 数列｛PAn+QBn｝是等差数列.
如果两个或者几个等差数列的项数相则，对应项的和组成新的数列，或者对应项乘上常数后求和得到的新数列仍然是等差数列。
因{An}与{Bn}是项数相同的等差数列,
设{An}为:A1,A2……An,公差为da,
{Bn}为,B1,B2……Bn,公差为db,
则PAn+QBn=PA1+P(n－1)da+QB1+Q(n－1)d2
=(PA1+QB1)+(n－1)(Pda+Qdb)
因此(PA1+QB1)是数列{PAn+QBn}的首项,
令n=1,2,3,……
得,PA1+QB1=Pa1+Qb1
PA2+QB2=(PA1+QB2)+(2－1)(Pda+Qdb)= (PA1+QB2)+(Pda+Qdb)
PA3+QB3=(PA1+QB2)+(3－1)(Pda+Qdb)= (PA1+QB2)+2(Pda+Qdb)
……
PAn+QBn=(PA1+QB2)+(n－1)(Pda+Qdb)=
即数列{PAn+QBn}的每一项都比前一项增加(Pda+Qdb)
所以{PAn+QBn}是等差数列
