数列---知识讲解
重点：数列的概念、数列的表示方法、数列的通项公式、数列的递推式及数列的前n项和。
难点：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式及数列的递推式。
关键：写数列通项公式的关键是分析各项的特点，找出各项共同的构成规律。
根据本节的内容，各级考试常常围绕以下几类问题考查，需要落实好。
1．根据给出的数列的前若干项，写出数列的通项公式；
2．根据给出的数列的通项公式，写出指定的项，或判断某数是否是该数列的项；
3．根据数列的通项公式论证数列的性质；
4．根据递推式及前若干项，写出指定的项；
5．根据前n项和公式，求通项公式。
对于本节，以下几点应予以注意：
1．本节要求掌握数列的概念，能用函数观点认识数列，了解数列的递推公式与通项公式的意义，会根据数列的通项公式写出数列的任一项，会根据数列的有限项或递推公式写出数列的通项公式。
2．要熟记一些特殊数列，如：
｛（－1）n｝，｛n｝，｛2n－1｝，｛2n｝，｛2n－1｝，｛n2｝， 等，在求数列通项公式时，可观察所给数列与特殊数列之间的关系，便于得出结论。
3．数列的通项公式是反映数列内在规律的重要表示形式，如何归纳出通项公式以及通项公式的简单灵活运用，是本节的重点问题，它对提高猜想能力、活跃思维都起重要作用。
4．关于数列的概念问题，虽然在高考中很少独立命题，但数列的通项关系，猜想，归纳，递推意识却融入数列的试题之中，因此对于本节要细心的领会，认真的掌握。
一、 数列的定义
数列的定义
正整数1,2,3,4，…的倒数排列成一列数：1, …像这样按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，…
数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列。
例如，数列4，5，6，7，8，9，10与数列10，9，8，7，6，5，4是不同的数列。
在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现。
数列的一般形式
数列的一般形式可以写成a1、a2、a3、…，an，…，也可简记作{an}。例如把数列 简记作{ }。
数列的项的表示
数列的项通常用字母加右下角标表示，其中右下角标表示项的位置序号。我们还应注意到这里{an}与an是不同的：{an}表示数列a1、a2、a3、…，an，…，而an只表示这个数列的第n项；这里{an}是数列的简记符号，并不表示一个集合。
关于定义的理解，再强调以下几点：
1．{an}与an是不同概念，{an}表示数列a1、a2、a3、…，an，…而an仅表示数列{an}的第n项。
2．数列的项与它的项数是不同的概念。数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f (n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f (n)中的n。
3．次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别。
如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}不论按怎样的次序排列都是同一个集合。
二、 数列的通项公式
如果数列｛an｝的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。例如，数列1, ……的通项公式是 。
对于数列通项公式的理解注意以下几点：
1．数列的通项公式实际上是一个以自然数或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式。
2．如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项。
3．如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式。
如 的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001…，所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…，就没有通项公式。
4．有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的，正如数列：－1，1，－1，1，－1，1…，它可以写成an=(－1)n，也可以写成 ，还可以写成an=(－1)n+2等。
这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列。
5．有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一。
三、 数列的递推关系式
如果已知数列｛an｝的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an－1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式也是给出数列的一种方法。
四、 数列的分类
按数列的项数分类
项数有限的数列叫做有穷数列。在写有穷数列时，要把末项（有穷数列的最后一项叫末项）写出。
例如数列1，3，5，7，9，…，2n－1，表示有穷数列。
项数无限的数列叫做无穷数列。无穷数列没有末项，在写无穷数列时应注意。
例如数列1，3，5，7，9，…或数列1，3，5，7，9，…，2n－1，…
按项与项之间的大小关系、数列的增减性分类
一个数列，如果从第2项起，每一项都不小于它前面的一项（即an+1≥an），这样的数列叫做递增数列。
例如数列4，5，6，7，8，9，10或 精确到1，0.1，0.01，0.001…的不足近似值排列成的一列数列：1，1.4，1.41，1.414，…都是递增数列。
一个数列，如果从第2项起，每一项都不大于它前面的一项（即an+1≤an），这样的数列叫做递减数列。
例如正整数1,2,3,4，…的倒数排列成一列数列：1, …就是递减数列。
一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做摆动数列。
例如－1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排列成的一列数列：－1，1，－1，1，－1，1，…就是摆动数列。
一个数列，如果每一项都相等，这样的数列叫做常数列。
例如无穷多个1排列成的一列数列：1，1，1，1，…就是常数列。
参考资料：http://www.zxxk.cn/yinyupd/gzsxlm/dyc/dszsl/200510/512.html