答案是：唐朝
补充答案：“挂面”出自敦煌唐朝时称“须面”
中国人喜欢吃面，尤其在北方，方便面、挂面等大行其道。新的研究表明，远在唐代，中国人就已经在食用这种“快餐”。专门从事敦煌饮食研究的高启安博士说：“检阅敦煌文献发现，远在唐代就出现了挂面，当时叫做‘须面’。”
过去，学术界一直认为成书于元代的《饮膳正要》所记的“挂面”，是中国有关挂面的最早记载。而在敦煌文书中不止一次出现“须面”，并被装入礼盒送人。如当时敦煌的一户人家将“须面”用作了婚俗中的聘礼。今日中国仍有地方将挂面称作“龙须面”。
参考资料：http://202.102.247.129/papers/dhb/200504/15/279627/279633.html
古代
首先人们已经在吃面了，这个时间估计在夏、商时代。
第二得有合适的杆来“挂”，这个时间比夏商早。
两种方式的结合估计得晚很久，直到什么时候呢？大概在工业革命以后吧，因为挂面是机器生产的，所以正确答案是清末。