有两个袋子,白袋子装有2000粒白豆,红袋子装有3000粒红豆,从白袋子里拿出50粒放进红袋子里,再把红袋子里的豆子搅匀,然后眼睛不看,从红袋子里拿出50粒放进白袋,接着重复这个步骤.从白袋里拿出100粒豆子放进红袋子里.搅匀后再从红袋子里拿出100粒豆子放进白袋,到最后,红袋子里的白豆比白袋子里的红豆多还是少,为什么?
參考答案:采用这样的记法：(白袋白豆,白袋红豆):(红袋白豆,红袋红豆)
初始状态(2000,0):(0,3000)
在(2000-n,n):(n,3000-n)的状态下做两次操作：
1. 从白袋拿出k粒到红袋，红袋搅匀；
这k粒豆中，约有k(2000-n)/2000白豆，kn/2000红豆
那么，操作后的状态为
(2000-n-k(2000-n)/2000,n-kn/2000):(n+k(2000-n)/2000,3000-n+kn/2000)
令x＝n-kn/2000，得(2000-k-x,x):(k+x,3000-x)
2. 再从红袋拿出k粒到白袋，白袋搅匀
这k粒豆中，有k(k+x)/(3000+k)白豆，k(3000-x)/(3000+k)红豆
那么，操作后的状态为
(2000-k-x+k(k+x)/(3000+k),x+k(3000-x)/(3000+k)):
(k+x-k(k+x)/(3000+k),3000-x-k(3000-x)/(3000+k))
不用化简，只需注意到
x+k(3000-x)/(3000+k)＝3000(k+x)/(3000+k)＝(k+x-k(k+x)/(3000+k)
即：白袋的红豆＝红袋的白豆
因此，只要初始状态下，有白袋的红豆＝红袋的白豆
每次执行操作1和操作2，白袋的红豆＝红袋的白豆仍然成立
到最后，红袋的白豆和白袋的红豆一样多