已知：数列an=根号（1*2）+根号（2*3）+……+根号[n（n+1）] （n属于正整数）求证：n(n+1)/2<an<(n+1)^2/2对于n属于正整数恒成立。
參考答案:an>根号（1*1）+根号（2*2）+……+根号(n*n)=1+2+3+……+n=n(n+1)/2 即n(n+1)/2<an
an<(n+1)^2/2要用数学归纳法证：
甲：当n＝1时an＝根号2 (n+1)^2/2=2 此时a1<(1+1)^2/2
乙：设当n＝k时ak<(k+1)^2/2欲证设当n＝（k＋1）时a（k＋1）<〔(k+1）+1〕^2/2
丙：a（k＋1）＝ak＋根号〔(k＋1）*(k+2)〕
ak<(k+1)^2/2 (k+2)^2/2－(k+1)^2/2＝（2k+3)/2>根号〔(k＋1）*(k+2)〕 所以 a（k＋1）<〔(k+1）+1〕^2/2
由甲乙丙三步可得：an<(n+1)^2/2
综上所述n(n+1)/2<an<(n+1)^2/2对于n属于正整数恒成立
证毕
