椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,的四个顶点为A,B,C,D 若菱形ABCD的内切圆恰好过焦点,则椭圆离心率为？
參考答案:先画图,建立坐标系,设原点为O
三角形AOB中,过B作AC的垂线交AC于E
由射影定理:|OE|^2=|BE|*|AE|
|AB|^2=|AO|*|BO|
可得|BO|*|AO|/|AB|^2=|OE|^2
其中|AB|^2=|OA|^2+|OB|^2
因为ABCD的内切圆恰好过焦点,所以圆半径=|EO|=c
又因为|OB|=b , |OA|=a
故得 a^2*b^2/(a^2+b^2)=c^2 (e=c/a)
<=>b^2/(a^2+b^2)=e^2 (b^2=a^2-c^2)
<=>(a^2-c^2)/(2a^2-c^2)=e^2 (分子分母同时除以a^2)
<=>(1-e^2)/(2-e^2)=e^2
<=>e^4-3*e^2+1=0
因为0<e<1
解得e^2=(3-√5)/2 (e^2=(3+√5)/2舍)
故e=(√5-1)/2