一个项数为奇数的等差数列,奇数项和为168,偶数项和为140,且最后一项比第一项大30,求数列的项数及通项公式.

王朝知道·作者佚名  2009-12-09
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參考答案:

解:设该等差数列的首相是a1,项数是n,且n为奇数,公差是d

an=a1+(n-1)d

an-a1=(n-1)d=30....(1)

奇数项和为168,那么所有的奇数项又构成一个以a1为首相,2d为公差,且共有(n+1)/2项

所以:168=a1*(n+1)/2+[(n+1)/2 *[(n+1)/2-1]]*2d/2

168=a1(n+1)/2+d*(n^2-1)/4

672=2a1(n+1)+(n^2-1)d....(2)

偶数项和为140,那么所有的偶数项又构成一个以a2为首相,2d为公差,且共有(n-1)/2项

即:140=a2*(n-1)/2+[(n-1)/2 *[(n-1)/2-1]]*2d/2

140=(a1+d)(n-1)/2+d*(n-1)(n-3)/4

560=2(a1+d)(n-1)+(n-1)(n-3)d....(3)

把(1)分别代入(2),(3)得:

672=2a1(n+1)+(n+1)(n-1)d=2a1(n+1)+30(n+1)

672=2a1(n+1)+30n+30

642=2a1(n+1)+30n ....(4)

560=2a1(n-1)+2d(n-1)+(n-3)(n-1)d=2a1(n-1)+60+30(n-3)

即500=2a1(n-1)+30n-90

590=2a1(n-1)+30n...(5)

(4)-(5)得

642-590=2a1(n+1)+30n -2a1(n-1)-30n=4a1

4a1=52

a1=13

代入(5)得

590=26(n-1)+30n

590=56n-26

616=56n

n=11

代入(1)得

d(n-1)=30

d=30/10=3

所以,所求数列的项数是11,通项公式是an=13+3(n-1)

即an=3n+10

n=

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