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数学奥赛题(两天内要答案,急呀)

王朝知道·作者佚名  2010-01-01
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分類: 教育/科學 >> 學習幫助
 
問題描述:

一等边△ABC,边长a=√(25+12√3)。P为三角形内一点。连结PA,PB,PC,且PA2+PB2=PC2(图不好画,自己联想吧)若PC=5,求PA,PB

解释:

1.边长a=√(25+12√3)

a等于大根号下二十五加十二根号三。整个二十五加十二根号三都在大根号下。

2.PA2+PB2=PC2

里面的“2”表示平方

老师提示说用到图形的旋转。

參考答案:

哈哈哈,第三次看到这类问题——

按原题作图:

以B为中心,按60度旋转△BAP,使得 A点旋转至C点,P点至 Q。可以很容易证明:CQ = PA、PQ = PB

注意到 PA^2 + PB^2 = PC^2 是直角三角形

∠CQP = 90°所以∠CQB = 150°

BC^2 = CQ^2 + BQ^2 - 2*CQ*BQ*cos150°

= PA^2 + PB^2 - 2*PA*PB*(-√3/2)

= PC^2 + √3*PA*PB

= 25 + √3*PA*PB

BC^2 = 25 + 12√3

所以 PA*PB = 12,联合PA^2 + PB^2 = 25 可以得到:

PA,PB = 3,4

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