设x,y∈R,求证:│x+y│=│x│+│y│成立的充要条件是xy≥0

设x,y∈R,求证:│x+y│=│x│+│y│成立的充要条件是xy≥0

证明:①当x≥0,y≥0时,则

等式左边=x+y

右边=x+y

左边=右边

原等式成立.

②当x＜0,y＜0时,则

等式左边=-(x+y)=-x-y

右边=-x-y

左边=右边

原等式成立.

综上述,当xy≥0时,│x+y│=│x│+│y│.

备注:分类讨论思想