求证:等轴双曲线上一点到双曲线中心的距离是它到焦点距离的等比中项

设双曲线为X~2/a~2-Y~2/a~2＝1

任意点(X0,Y0)

点到中心的距离的平方等于X0~2+Y0~2

因为X~2-Y~2=a~2

两边同加X~2+Y~2-a~2

得X0~2+Y0~2=2X0~2-a~2

点到两焦点的乘积等于|(ex+a)(ex-a)|

因为e＝根号2

所以|(eX0+a)(eX0-a)|＝2X0~2-a~2

所以点到两焦点的乘积等于点到中心的距离的平方

所以等轴双曲线上的一点到中心的距离是它到两焦点距离的比例中项

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