数学高手请进,解出来在加100分。

王朝知道·作者佚名  2010-07-03
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分類: 教育/科學 >> 升學入學 >> 中考
 
問題描述:

已知:三角形ABC中,角C-角B=60度,

且2(AB-AC)*(AB-AC)=BC*BC

求证:A角等于90度

參考答案:

使用简写符号:a = BC、b = AC、c = AB,大写字母A、B、C 分别表示角度

C - B = 60°根据正弦定理可以知道:

c - b > 0 ..................................(1)

根据题目给出条件有:

2(c - b)^2 = a^2

根据(1)可以得到

c - b = (√2/2)*a .........................(2)

继续应用正弦定理,(2)可以变换为:

sinC - sinB = (√2/2)*sinA ..............(3)

注意到:

sinC - sinB

= 2sin[(C - B)/2]*cos[(C + B)/2]

= 2*sin30°sin(A/2)

= sin(A/2)

sinA = 2*sin(A/2)*cos(A/2)

以上二式代入(3)有:

√2*cos(A/2) = 1

cos(A/2) = √2/2

A/2 = 45°

A = 90°

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补充:噢,老师的思路是纯粹几何方法,很巧妙啊!

延长 AC 至 E,使得 AE = AB 则有:

∠AEB = ∠ABE

为了书写方便,记 B = ∠ABC、C = ∠ACB、x = ∠AEB、y = ∠CBE

有关系式:

C = x + y ....................(1)

x = B + y ....................(2)

(1) + (2)

C + x = x + B + 2y

2y = C - B = 60°

y = 30°

做 CF⊥BE 交 BE 于 F,因为∠CBE = 30°,所以

CF = BC/2

EF^2 = CE^2 - CF^2 .......................(3)

CE^2

= (AE - AC)^2

= (AB - AC)^2 ...........AE = AB

= [BC^2]/2 ..............已知条件

代入(3)得到

EF^2

= [BC^2]/2 - [BC^2]/4

= [BC^2]/4

EF = BC/2 = CF

所以∠CEB = 45°,∠ABE = 45°,自然有∠BAE = 90°即 A = 90°

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