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參考答案:实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根到底
是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集以一个数量的概念，这个概念叫做测
度。
什么实测度呢？简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度的概念对于实变函数论
十分重要。集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的。
为了推广积分概念，1893年，约当在他所写的《分析教程》中，提出了“约当容度”的
概念并用来讨论积分。1898年，法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进，并把它叫做测度
。波莱尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文，提出了“勒贝格测度”、“
勒贝格积分”的概念。勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎
曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题。
勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来由推广
到积分可以不是绝对收敛的。从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼
发扬的老积分定义广大多了。也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。
自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认清连
续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近。这样，在实变函数
论的领域里又出现了逼近论的理论。
什么是逼近理论呢？举例来说，如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就说 A类函
数能以 B类函数来逼近。如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出 A类
函数的相应性质。逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近
的程度和在逼近中出现的各种情况。
和逼近理论密切相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数。和逼近理论相关
的还有一种理论，就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函
数构造论。
总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个
重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征。
实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在
各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓扑学和泛涵分析两个重要分支有着极为重要
的影响。
参考资料：