2道导数题

王朝知道·作者佚名  2009-05-25
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分類: 理工學科
 
問題描述:

1.某曲线方程为y=3x-x^3求它的过点A(2,-2)的切线方程.2.已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2在x=1处有极值10,求值: f(2)=?

參考答案:

PS:本人较久未接触微积分,如有不对之处恳请指教.

一.

设切点为M(x0,y0),有y'=3-3x^2

在点M处的切线方程为y-y0=(3-3x0^2 )(x-x0)

又因为切线过A点

所以

-2-(3x0-x0^3)=(3-3x0^2)(2-x0)

整理可得x0^3-3x0^2+4=0

即(x0+1)(x0-2)^2=0

所以x0=-1或x0=-2

1. 当x0=-1时

切线方程为:

y=-2

2. 当x0=2时

同理易得方程为

9x+y=16

..

二.

f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2,依题意得

f'(1)=0

f(1)=10

所以2a+3+b=0,1+a+b+a^2=10

易解得a1=4 b1=-11

a2=-3 b2=3 (两组解)

所以可得结论如下:

1. 当a1=4,b1=-11时

f'(x)=3x^2+8x-11=(x-1)(3x+11)

在x=1时有极值 f(2)=18

2. 当a2=-3,b2=3时

f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2

当x<1时f'(x)>0

当x>1时f'(x)>0

所以f(x)在x=1时无极值

所以f(2)=18

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