1.某曲线方程为y=3x-x^3求它的过点A(2,-2)的切线方程.2.已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2在x=1处有极值10,求值: f(2)=?
參考答案:PS:本人较久未接触微积分,如有不对之处恳请指教.
一．
设切点为M(x0,y0),有y'=3-3x^2
在点M处的切线方程为y-y0=(3-3x0^2 )(x-x0)
又因为切线过A点
所以
-2-(3x0-x0^3)=(3-3x0^2)(2-x0)
整理可得x0^3-3x0^2+4=0
即(x0+1)(x0-2)^2=0
所以x0=-1或x0=-2
1. 当x0=-1时
切线方程为:
y=-2
2. 当x0=2时
同理易得方程为
9x+y=16
..
二．
f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2,依题意得
f'(1)=0
f(1)=10
所以2a+3+b=0,1+a+b+a^2=10
易解得a1=4 b1=-11
a2=-3 b2=3 (两组解)
所以可得结论如下：
1. 当a1=4,b1=-11时
f'(x)=3x^2+8x-11=(x-1)(3x+11)
在x=1时有极值 f(2)=18
2. 当a2=-3,b2=3时
f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2
当x<1时f'(x)>0
当x>1时f'(x)>0
所以f(x)在x=1时无极值
所以f(2)=18
