三角形ABC角A的平分线交BC于D
问AB*AC-DB*DC=AD*AD如果是请证明
不是说明理由
參考答案:AB*AC-DB*DC=AD*AD是成立的。
理由如下： 在△ABC中，延长AB到E，使BE＝BD，则AE=AB+BD．
在AC边上取点F，使CF＝CD，则AF=AC－CD．
连结ED，FD．我们只要能证明△AED与△ADF相似就可以了．
而在△AED与△ADF中，∠EAD=∠DAF=∠A/2；
∠CDF+∠CFD=180°-∠C=∠A+∠B,即∠CFD=(∠A+∠B)/2；
故∠ADF=∠CFD-∠A/2=(∠A+∠B)/2-∠A/2=∠B/2=∠AED；
所以△AED～△ADF，则AE/AD=AD/AF，即 AD^2＝AE×AF＝(AB＋BD)(AC－CD)=AB*AC-AB*CD+AC*BD-BD*CD；
另外，过C作DA的平行线交BA延长线于G点，则有BD/DC=BA/AG，因为∠AGC=∠BAD=∠DAC=ACG，所以AC=AG。代入比例式得：BD/DC=BA/AC，
即：AB*CD=AC*BD，
所以
AD^2＝AB*AC-BD*CD，即AB*AC-DB*DC=AD*AD成立。
