设z是虚数,w=z+1/z是实数,

王朝知道·作者佚名  2012-04-22
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分類: 教育/科學 >> 學習幫助
 
問題描述:

设z是虚数,w=z+1/z是实数,

且-1<w<21求|z|的值及z的实部的取值范围2设u=(1-z)/(1+z),求证u为纯虚数 3求w-u^2的最小值

求详解!

參考答案:

设z=a+bi

w=a+bi+(a-bi)/(a^2+b^2)

由于w是实数,

所以b-b/(a^2+b^2)=0

所以b=0(舍去)或a^2+b^2=1

代入得w=2a

由-1<w<2得-1/2<a<1

另外,-1<a<1(由a^2+b^2=1可以得出)

于是|z|的值为1,z的实部的取值范围:-1/2<a<1

设z=cosk+isink

u=(1-z)/(1+z)=(1-cosk-isink)/(1+cosk+isink)

=(-2isink)/(2+2cosk)

所以u为纯虚数

w-u^2=2cosk+(sink)^2/(1+cosk)

=-(cosk)^2+2cosk+1=-(cosk-1)^2+2

由-1/2<cosk<21/2

w-u^2的最小值好像取不到,如果是-1/2=<cosk<=21/2那就是-1/4

(a=cosk=-1/2时)

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