在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E F分别为BB1 CC1的中点,求AE BF所成角的余弦值
參考答案:连接DF,容易证明,AE与DF平行,那么AE与BF夹角就是AE与DF夹角即角DFB.
设正方体边长为2,那么CF=1,由于三角形DCF和BCF都是直角三角形,所以:
BF=DF=sqrt(5),sqrt表示根号.
BD是正方形ABCD的对角线,所以BD=sqrt(8)=2*sqrt(2)
现在三角形BDF的三条边长都知道了,用余弦定理可以求出角BFD的余弦值.
也可以不用余弦定理,做BD中点H,连接FH,在直角三角形BFH中求出角BFH的余弦值和正弦值,分别为sqrt(3)/sqrt(5)和sqrt(2)/sqrt(5),然后用二倍角公式求出角BFD的余弦值为1/5也就是0.2
由最开始所说的知道角BFD就是AE与BF夹角.
ps: 就我感觉,高中阶段的立体几何,绝大部分的题目还是想方设法把立体几何问题转化成平面几何问题来处理,特别是涉及到一些具体定量计算的,比如说这个题目里头要算余弦值.我没记错的话高中的立体几何里面除了体积和表面积没有涉及到定量计算的部分,也就是说只要是计算的题目就要转换到平面上处理,只要转换到平面上哪怕不用任何技巧,都还可以建立坐标系用平面解析几何计算.关键就是如何把立体几何问题转换到平面上.立体几何里有一些定理可以把立体的问题转换到平面上,比如说这个题目里头最开始证明那个平行线,用的就是正方体各条棱长度相等,并且有三组棱两两平行,这样就可以把立体几何简化到平面上了.如果楼主读了大学学了一些基本的微分几何和空间解析几何就知道,我说的这种思路只不过是简单的三维空间到二维空间的投影而已,也就是函数的旋转,投影,拉伸变换而已.
