面积的计算
本节内容主要是简述图形面积的度量的概念和证明长方形的面积公式．
我们在§1中已经谈到长度和角度的概念，现在来分析一下“面积”这个基本几何量．度量一个图形的面积通常取边长为一个长度单位的正方形做面积单位．例如，我们把每边长为1厘米的正方形的面积叫做一平方厘米．
度量一个图形的面积的大小，实际上求出这个图形所含有的面积单位的量数．也可以说是求这个图形的面积和面积单位的比值，这个量数(或比值)是一个正实数．
由面积的直观含义，我们看到面积这个几何量具有以下基本性质：
(1)设R和R′是两个可以完全重合的“平面区域”(图2－10)，即R和R′的形状、大小完全一致，则R和R′的面积完全相等。两个平面图形如果面积相等，则称它们是等积．
(2)设平面区域R1、R2是由平面区域R分割而成，则R的面积等于R1和R2面积的和(图2－11)．
(3)设平面区域T是平面区域R的一部分，则T的面积小于R的面积(图2－12)．
为了叙述方便，我们采用符号：S(a，b)表示两条邻边长分别67是a、b的长方形面积．
定理 长方形的面积等于长乘宽，即
S(a，b)＝a·b．
我们分以下几种情况来证明本定理(①定理证明为选学内容．)．
(1)设u是长度单位，a＝lu，b=mu，l、m都是整数(在图2－13中，l＝4，m＝3)．我们把a、b分别等分为l、m等份，然后过各分点，分别引a、b的平行线，把长方形ABCD分割成l·m个边长为u的单位正方形．所以
S(a，b)= l·m·S(u，u)=l·m(u2)
＝lu·mu＝a·b．
(2)当u是长度单位，a＝l·u，b=m·u，但l、m不是整数的小正方形．所以
即S(a，b)=a·b．
(3)当l、m不一定是有理数(分数)时，我们应用以下夹逼原理来加以证明．
夹逼原理 设a、a′是两个实数，假如它们同时被一个递增数列｛an｝和一个递减数列｛bn｝所左右夹逼，而且(bn-an)在n增大时可以小到任意小，即
a1≤…≤an－1≤an≤…＜a，
a′＜…≤bn≤bn-1≤…≤b1，
(bn-an)→0，
则 a=a′
由于无理数可以用有理数来逼近，并可精确到任意程度．所以，我们可以取｛ln｝、｛l′n｝为左右夹逼l的分数数列，即ln、l′n为分数且ln→l←l′n；又取｛Wn｝，｛W′n｝为左右夹逼m的分数数列．如图2－15所示，
长方形ABnCnD2n的面积=S(lnu，wnu)=lnwn(u2)，
长方形AB′nC′nD′n的面积=S(l′nu，w′nu)＝l′n·w′n(u2)．
设长方形ABCD的面积=S(a，b)．
显然有
ln·wn(u2)≤S(a，b)≤l′n·w′n(u2)．
因为 ln≤l≤l′n，wn≤m≤w′n，
所以 ln·wn≤l·m≤l′n·w′n． (1)
因为 (l′n-ln)→0，(w′n-wn)→0，
所以 (l′n·w′n-ln·wn)
＝(l′n·w′n-l′n·wn+l′nw-ln·wn)
=〔l′n(w′n-wn)+wn(l′n-ln)〕→0．(2)
由(1)、(2)并根据夹逼原理，就有
S(a，b)＝l·m(u2)，
即 S(a，b)=lu·mu=a·b．
