N!开N次方在N趋向于无穷大时的极限怎么求？其中N为自然数。

首先有一个重要不等式

n! ≥ n^(n/2)

简单证明如下：

∵(k - 1)(k - n) ≤ 0 (1 ≤ k ≤ n)

<==> k^2 - kn - k + n ≤ 0 (1 ≤ k ≤ n)

<==> k * (n+1-k) ≥ n (1 ≤ k ≤ n)

∴(n!)^2 = (1 * 2 * ... * n) * (n * ... * 2 * 1)

= (1 * n) * (2 * (n-1)) * ... (k * (n+1-k)) * ... * (n * 1)

≥ n^n 两边开方得n! ≥ n^(n/2)

从而(n!)^(1/n) ≥ √n

由于n --> ∞时√n --> +∞ 因此 (n!)^(1/n) --> +∞

式中^表示乘方，√表示开方 * 表示乘号