是否存在这样的轨道?

王朝知道·作者佚名  2009-08-05
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分類: 理工學科
 
問題描述:

已知:A,B两点不在一条竖直线上,且A比B高。现在某静止质点从A沿光滑轨道下滑到B。是否存在一条轨道,使质点从A到B用时最短?若存在,求出轨道形状,否则说明理由。

參考答案:

最速降线问题

意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题——“一个质点在重力作用下,从一个给定点到不在它垂直下方的另一点,如果不计摩擦力,问沿着什么曲线滑下所需时间最短。”。他说这曲线是圆,可是这是一个错误的答案。

瑞士数学家约翰.伯努利在1696年再提出这个最速降线的问题(problem of brachistochrone),征求解答。次年已有多位数学家得到正确答案,其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利家族的成员。这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线。

旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同。因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等,所以摆线(旋轮线)又称等时曲线。

数学家十分关注最速降线问题,大数学家欧拉也在1726年开始发表有关的论着,在1744年最先给了这类问题的普遍解法,并产生了变分法这一新数学分支

当年柏努力兄弟向数学界提出挑战,提出了最速降线的问题。牛顿用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程,约翰·柏努力用光学的办法巧妙的也解出最速降线方程,雅克布·柏努力用比较麻烦的办法解决了这个问题。虽然雅克布的方法最复杂,但是在他的方法上发展出了解决这类问题的普遍办法——变分法。现在来看,雅克布的方法是最有意义和价值的。

另请参考:

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