数学问题

王朝知道·作者佚名  2009-08-08
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分類: 理工學科
 
問題描述:

有一数学兴趣小组进行投针实验,设平行线间的距离为a,针长为l,针与平行线相交的概率为P,求π的值。

答案是由P=2l/πa推出π的值,我想问P=2l/πa是怎样推导出来的。

參考答案:

Buffon问题:平面上布满等距离为2a的一族平行线。现在向平面随即投掷一长度为2l的针,求针与其中某直线相交的概率p。

解答这个问题的关键是找出针与直线相交的充要条件:x<=lsiny (这里x是针的中点到最近直线的距离,y是针与直线的夹角)

可以在坐标xoy上画出满足条件的图形(矩形里面有一个拱形的图)

这样问题就转化为均匀向矩形内投掷随即点,并求落入拱形区域的概率。根据几何概率知,只需求其面积比即可

拱形面积:lsiny关于y从0到π的积分=2l

矩形面积:aπ

这样就得到p=2l/aπ

注意:我这里针长和直线间隔都是楼主讲的2倍,这只是为了公式好写点而已,结论一致的。

ps:Buffon问题是几何概率中的一个典型问题,楼上有人说有很多例子,不要理解为是buffon的例子,而是几何概率的例子。

用概率的方法来求一些常量这是一种常用的方法,比如可以在一个单位矩形里投点,看是不是落入内接圆来求得π的值,也可以用用投点的方法求解不规则形状的面积。这在数学上是一种蒙特卡罗方法。

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