乘法逆元

例如：4关于模7的乘法逆元为多少？

4*X≡1(mod 7)

这个方程等价于求一个X和K，满足

4X=7K+1

其中X和K都是整数。

若ax=1 mod f 则称a关于模f的乘法逆元为x。也可表示为ax≡(mod f)。

当a与f互素时，a关于模f的乘法逆元有唯一解。如果不互素，则无解。如果f为素数，则从1到f-1的任意数都与f互素，即在1到f-1之间都恰好有一个关于模f的乘法逆元。

例如，求5关于模14的乘法逆元：

14=5*2+4

5=4+1

说明5与14互素，存在5关于14的乘法逆元。

1=5-4=5-(14-5*2)=5*3-14

因此，5关于模14的乘法逆元为3。

其求法可用欧几里德算法：

Extended Euclid (d，f) //算法求d关于模f的乘法逆元d-1 ，即 d* d-1 mod f = 1

1 。(X1，X2，X3) := (1，0，f)； (Y1，Y2，Y3) := (0，1，d)

2。 if (Y3=0) then return d-1 = null //无逆元

3。 if (Y3=1) then return d-1 = Y2 //Y2为逆元

4。 Q := X3 div Y3 //整除

5。 (T1，T2，T3) := (X1 - Q*Y1，X2 - Q*Y2，X3 - Q*Y3)

6 。(X1，X2，X3) := (Y1，Y2，Y3)

7。 (Y1，Y2，Y3) := (T1，T2，T3)

8。 goto 2

常用于加密算法中，如仿射算法。