最值定理

王朝百科·作者佚名  2010-05-30
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数学的基本公式之一,其表达为

已知X,Y都为正数,则 __

积XY为定值P时,当X=Y,X+Y有最小值2√P

和X+Y为定值S时,当X=Y,XY有最大值1/4S*S

函数的最值定理

若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]上有最大值与最小值

证明

先证明其有界,(应用致密性定理)倘若f在[a,b]上无界,则对任意正整数n,存在Xn∈[a,b],使得f(Xn)>n。依次取n=1,2…,则得到数列{Xn}([a,b]。由致密性定理,它含有收敛子列{Xnk},记lim(k→∞)Xnk=ξ。

由a≦Xnk≦b及数列极限的保不等式性,ξ∈[a,b]。利用f在点ξ连续,推得lim(k→∞)f(Xnk)=f(ξ)<+∞

另一方面,由Xn的选取方法又有f(Xnk)>nk≥k→+∞即lim(k→+∞)f(Xnk)=+∞。

这与上式矛盾,所以,f在[a,b]有上界,类似可证明其有下界。

因为f在[a,b]上有上界,故由确界原理,f的值域f([a,b])有确界,记为M。

若不存在ξ∈[a,b],使得f(ξ)=M,则设:g(x)=1/(M-f(x)),x∈[a,b]

易见函数g在[a,b]上连续,故g在[a,b]上有上界。设G是g的一个上界,则0<g(x)=1/(M-f(x))≤G,x∈[a,b]

从而推得f(x)≦M-1/G,x∈[a,b]。

但这与M为f([a,b])的上确界(最小上界)相矛盾。所以必存在ξ∈[a,b],使f(ξ)=M,即f在[a,b]上有最大值,同理证明有最小值

 
 
 
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