柯西主值

王朝百科·作者佚名  2012-05-10
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在微积分中,柯西主值是实数线上的某类瑕积分,为纪念柯西而得此名。

设f为实数域

上的函数,但在 0 点有奇异点。其柯西主值定义为以下之单边极限(若其存在)

在此所考虑的函数(例如f(t) =g(t) /t,其中g(t) 连续且在

上可积)通常在零点附近趋近无穷大,但其取值在零点两侧可以相消,因此由柯西主值可得到有限的积分值。

对于奇点不在零点,或有多个奇点的函数,可由类似方式定义广义的柯西主值。

在物理学里面有一个叫做Kramers–Kronig定理的,就是说响应和耗散分别是一个函数的实部和虚部,他们之间由一个柯西主值积分相联系。实验上一般测量响应或者耗散的其中一个,然后按Kramers–Kronig定理积分取柯西主值就可以得到另一个。这里的积分是不能收敛的,如果不取柯西主值,物理学家就做不下去了。

 
 
 
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