最大公约数

王朝百科·作者佚名  2009-10-30
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拼音:zuì dà gōng yuē shù

英语:greatest common divisor

德语:Größter gemeinsamer Teiler(ggT)

最大公约数(greatest common divisor,简写为gcd;

或highest common factor,简写为hcf),

指某几个整数共有公约数中的最大一个

例: 在2、4、6中,2就是2,4,6的最大公约数。

重要性质:gcd(a,b)=gcd(b,a) (交换律)

gcd(-a,b)=gcd(a,b)

gcd(a,a)=|a|

gcd(a,0)=|a|

gcd(a,1)=1

gcd(a,b)=gcd(b, a mod b)

gcd(a,b)=gcd(b, a-b)

如果有附加的一个自然数m,

则: gcd(ma,mb)=m * gcd(a,b) (分配率)

gcd(a+mb ,b)=gcd(a,b)

如果m是a和b的最大公约数,

则: gcd(a/m ,b/m)=gcd(a,b)/m

在乘法函数中有:

gcd(ab,m)=gcd(a,m) * gcd(b,m)

两个整数的最大公约数主要有两种寻找方法:

* 两数各分解质因子,然后取出同样有的项乘起来

*辗转相除法(扩展版)

和最小公倍数(lcm)的关系:

gcd(a, b) * lcm(a, b) = ab

======================================

a与b有最大公约数,但不一定有最小公倍数。--这句话是错的,

应为:a 与b一定有最小公倍数,但不一定有最大公约数。

======================

两个整数的最大公因子可用于计算两数的最小公倍数,或分数化简成最简分数。

两个整数的最大公因子和最小公倍数中存在分配律:

* gcd(a, lcm(b, c)) = lcm(gcd(a, b), gcd(a, c))

* lcm(a, gcd(b, c)) = gcd(lcm(a, b), lcm(a, c))

在坐标里,将点(0, 0)和(a, b)连起来,通过整数坐标的点的数目(除了(0, 0)一点之外)就是gcd(a, b)。

程序

PASCAL

program zuidagongyueshu;

var m,n,a,b,r:integer;

begin『主程序』

write('Input m,n=');

readln(m,n);

a:=m;

b:=n;

repeat

r:=a mod b;

a:=b;

b:=r;

until r=0;

writeln('The greatest common divide is:',a);

end。

 
 
 
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