证明:对于一个矩形A,可以找到另一个矩形B的周长和面积都为A的n倍(二)

王朝other·作者佚名  2006-02-01
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本章讨论,当0<n<1时什么情况会存在。(由于有可能不存在)

据题意,设B的长和宽为x和y,A的长宽分别为a、b,得方程组:

①x + y = n ( a + b )

②x y = a b n

由①得:③y = a n + b n – x

将③带入②得:

x ( a n + b n – x ) = a b n

x2 – a n x – b n x + a b n = 0

x2 – ( a + b ) n x + a b n = 0

要使其有解,则Δ≥0

Δ = ( a + b )2 n2 – 4 a b n ≥ 0

( a + b )2 n – 4 a b ≥ 0

( a + b )2 n ≥ 4 a b n

( a2 + 2 a b + b2 ) n ≥ 4 a b

( a2 + 2 a b + b2 ) / 4 a b * n ≥ 1

( a / 4 b + 1 / 2 + b / 4 a ) n ≥ 1

( a2 + b2 ) / 4 a b ≥ ( 2 – n ) / 2 n

设b = a m

( a2 + a2 m2 ) / ( 4 a2 m ) ≥ ( 2 – n ) / 2 n

( m2 + 1 ) / 2 m ≥ ( 2 – n ) / 2 n

( m + 1 )2 / 2 m - 1 ≥ ( 2 – n ) / 2 n

( m + 1 )2 ≥ 4 m / n

m2 + ( 2 – 4 / n ) m + 1 ≥ 0

解得:

m1 ≥ [ 2 + sqrt( 1 – n ) ] / n – 1

m2 ≤ [ 2 – sqrt( 1 – n ) ] / n - 1

所以,当a与b的比值m ≥ [ 2 + sqrt( 1 – n ) ] / n – 1或0 < m ≤ [ 2 – sqrt( 1 – n ) ] / n - 1时可以找到

 
 
 
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