若平面上n个圆最多把平面分成f(n)个区域，则n+1个圆最多把平面分成区域的个数为
1个圆最多能把平面分成2个部分；
2个圆最多能把平面分成4个部分；
3个圆最多能把平面分成8个部分；
4个圆，为了使分成的部分最多，第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点．(如上传的图片所示)共有6个交点，这6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是，4个圆最多将平面分成8+6=14个部分．
用类似的方法，可以计算出n个圆最多分平面的部分数为
2+1×2+2×2+…+(n-1)×2
=2+2［1+2+…+(n-1)］
=n²-n+2．
现在是n+1个圆，就把公式中的n全代换成n+1，即：
(n+1)²-(n+1)+2
=n²+2n+1-n-1+2
=n²+n+2
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