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; Structure and Interpretation of Computer Programs
; (trial answer to excercises)
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; 计算机程序的构造和解释(习题试解)
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; created: code17 02/28/05
; modified:
; (保持内容完整不变前提下，可以任意转载)
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;; SICP No.1.25
;; 本题为理解题
;; 直接定义(expmod base exp m)为base^exp基于m的模(modulo)
;; (define (expmod base exp m)
;; (remainder (fast-expt base exp) m))
;; 在理想情况下是正确的，在语义上与原定义是等价的，甚至递归层数
;; 都是一样的，而且更加直观。
;;
;; 但在实践中，这样的定义是不可行的，这也是为什么我们要采用原文中的定义
;; 的原因：因为base^exp很可能是一个非常大的数。比如，当我们取第二个
;; 测试例子中的n=1000000时，base是[1,999999]区间中的任意
;; 随机数，它的平均取值为50000，而exp=1000000。50000^1000000是一个大得
;; 惊人的数，无论是fast-expt的层层函数调用计算，还是用remainder对其取模，
;; 计算量都是很大的。
;;
;; 而相反，原始的expmod函数
;; (define (expmod base exp m)
;; (cond ((= exp 0) 1)
;; ((even? exp)
;; (remainder (square (expmod base (/ exp 2) m))
;; m))
;; (else
;; (remainder (* base (expmod base (- exp 1) m))
;; m))))
;; 通过分解(a*b mod n) 为 ((a mod n) * (b mod n) mod n)，使得每层递归
;; 调用的计算参数和返回值总是小于n (x mod n < n)，即便是计算过程中出现
;; 的最大数(a mod n) * (b mod n) 也依然是要小于n^2, 相对于前者n^n的数
;; 量级，实在是小得多，这样就避免了大数的计算问题。
;;
;; 比如经测试，在使用新的expmod的情况下，1009的验证需要1.2ms的时间，
;; 1000003的验证需要 93680ms，远高于原来的expmod函数。
;;
;; 这也同时印证了我们在1.24题中的分析，同样的操作在不同字长的数字上的
;; 代价是不同的。1000000的验证时间现在是1000的8000多倍，远不再是2倍左右
;; 的关系。在1.24中的，因为expmod算法的控制，操作数最多是n^2级的，字长
;; 所引起的差距并不明显，只在10^6-10^12间产生了一点点阶跃；而这里的算法
;; 中, 操作数可以达到n^n级，当n=1000时，1000^1000的字长大约在10000位(二
;; 进制数)左右，而n=1000000时1000000^1000000的字长则达到在20000000位(二
;; 进制数)左右，这字长的巨大差距导致了我们在1.24中已经发现的问题更加明显。
