悖论（Paradox，Antinomy）也叫"逆论"或"反论"，它包含一切与我们日常经验或知觉相矛盾的数学
结论。
我们从集合的定义谈起：康托尔给集合下的定义是：把一定的并且可以明确识别的东西（直观的对象
或思维的对象），放在一起，叫做集合。根据上述定义，英国数学家罗素（B.Russell）1902年提出一个问
题，这个问题就是著名的罗素悖论。
罗素说，集合分为两类：
第一类是：集合本身不是集合的元素，即 ；
第二类是：集合本身是集合的一个元素，即
罗素推断，任何一个集合，不属于第一类集合，便属于第二类集合，二者必居其一。
接着罗素问道：把所有本身不是它的元素的那些集合汇总起来，组成一个集合Q，那么Q属于哪一类集合
呢？
显然，可以看出Q不论属于哪一类集合，都是矛盾的，因为：
（1） 假若Q是第一类集合，按Q的定义，显然有Q∈Q，但这又成了第二类集合；
（2） 若Q是第二类集合，自然有Q∈Q，但Q的元素都是第一类集合，所以Q又成了第一类集合。
在罗素悖论出现之前，人们也曾发现过悖论，但均未引起人们的足够重视，只是在罗素悖论出现后，才震动了数学界。
目前悖论流行的定义方法有多种，例如：
"悖论是一种导致逻辑矛盾的命题，这种命题如果承认它是真的，那么它又是假的；如果承认它是假的，那
么它有时真的"。
"悖论是指一个命题A，从A出发，找到一个语句B，然后假定B真，可推出B假；若假定B假，又可推出B真"。
"一个命题构成一个悖论，如果由它的真可推出它的假，而由它的假，又可以推出它的真"。
……等等。
上述这些定义方法，都不是完善的，因为
（1） 任何一个悖论都相对的被包含在某个理论体系中，换句话说，悖论都相对于某个理论体系。
（2） 并非每个悖论都能陈述为一个命题，有的悖论要由一个推理过程来表现。
（3） 一些悖论不完全归结为"肯定等价否?quot;，常常可用在一个系统中两个并存的互相矛盾的命题来表
述。
为了补充上述定义的不足，A.A.Fraenkel和Bar-Hillel对悖论作了比较完善的定义：
如果某一理论的公理和推理原则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或
者证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾命题的等价式，那么，我们就说这个理论包含了一个悖
论。
应当指出的，有一类命题和悖论十分近似，人们常常会把它们误认为悖论，而事实上它们并不是悖论。
例如：
（1） 一个克里特人说："所有的克里特人，所说的每一句话都是谎话"。
如果这句话是真的，因为是一个克里特人说的话，所以这句话又必须是假的；
反之，若这句话是假的，则并不导致任何矛盾。
（2） 一个人说："上帝是全能的，全能就是胜过一切"。
这句话真假如何？
若是真的，那么上帝可以创造一个击败自己的对手。这样上帝又不是全能的了；如果上帝不能创造出击败自己的对手来，那么上帝自然又不是全能的了。
即这句话若是假话，则不产生任何矛盾。
所以上述二例均不能构成悖论。
悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。
悖（bèi）论，从字面上讲就是自相矛盾，讲不通，说不明的荒谬理论。但悖论并非无稽之谈，它在荒诞中蕴含着哲理，给人以启迪。沿着它所指引的推理思路，你会感到走上了一条繁花似锦的羊肠小道，开始觉得顺理成章，而后会不知不觉陷入自相矛盾的泥潭。一旦将矛盾揭破，又令人回味无穷，感到滑稽可笑。经过认真的思考，又提高了人们认识问题的能力。
有人把悖论分为两类。一类是逻辑和数学型悖论，是由逻辑和数学中的概念构成的。另一类是语文学悖论，是由命名和真、假等概念构成的。在数学研究中更注重第一类悖论。这类悖论的通常形式是：如果承认某命题正确，就会推出它是错误的；如果认为不正确，就会推出它是正确的。
现在用一个最简单的“说谎者悖论”作例子，这是公元前4世纪希腊哲学家欧几里得提出来的。
原命题为：“我正在说的这句话是谎话。”
如果你认为他说的话是一句真，那么根据这句话本身的内容来分析，他说的就是一句谎话。如果你认为他的话是谎话，那么既然说的是谎话，分析的结果他所说的就应该是真话。到底他说的是真话还是谎话，谁也说不清了（图149）。
类似的悖论早在公元前6世纪就有人提出来了，那是一位克里特岛的哲学家埃皮曼尼克斯提出的命题。他说：“克里特岛的人每一句话都是谎话”。试问这句话本身是真话还是谎话？如果我们认为它是真话，那么埃皮曼尼克斯本人就是克里特岛人，他的话应该是谎话。如果我们认为它是谎话，说明克里特岛人是有人讲真话的，当然这个命题就应该被否定。所以无论怎么看，都难以自圆其说。不过这个悖论与前一个的不同之处在于，它只能从肯定的前提推出否定的结果，却不能从否定的前提推出肯定的结果，因此算不上一个最典型的悖论。
悖论读来有趣，却常令科学家们感到苦恼。因为严密的科学都应该是真实可靠的。特别是数学，以严密的逻辑推理为基础，更容不得任何自相矛盾的命题或结论。例如“不在同一直线上的3点决定一个平面”的论断是正确的，那么只用两点词或同一直线上的3点或不在同一直线上的4点都不能决定一个平面。但悖论却破坏了这种严密性，它反映了数学科学并不是铁板一块，在它大厦中还存在着裂缝。它的一些概念和原理之中还存在着矛盾和不完善、不准确之外，有待于科学家们进一步探讨和解决。数学正是在不断发现和解决矛盾的过程中发展起来的。尽管从古希腊到今天，悖论给许多人带来了快乐，人们通常把它列入“趣味数学”的范畴，但那些伟大的科学家和数学家们却总是极其严肃地对待它。事实上，现代逻辑学和集合论中的一些巨大的进展正是努力解决了经典悖论的直接结果。
