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Bezier曲线

王朝百科·作者佚名  2010-06-10
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Bezier曲线会落在 convex hull 之内,不会有不可预期形状

Bezier曲线有整体修正(globally modification)之特性 – 也就是更动任一控制点会更改整条曲线之形状

Bezier曲线所有混成函数的和为 1

Bezier曲线的反曲点之数少於控制多边形之边数

Bezier曲线与一平面的相交点之数 少於 该平面与控制多边形之的相交点之数

<2>一、Bezier曲线定义:

给定n+1个控制顶点Pi(i=0~n) ,则Bezier曲线定义为:

P(t)=∑Bi,n(t)Pi t∈[0,1]

其中:Bi,n(t)称为基函数。

Bi,n(t)=Ci nti (1-t)n-i

Ci n=n!/(i!*(n-i)!)

二、Bezier曲线性质

1、端点性质:

a)P(0)=P0, P(1)=Pn, 即:曲线过二端点。

b)P’(0)=n(P1-P0), P’(1)=n(Pn-Pn-1)

即:在二端点与控制多边形相切。

2、凸包性:Bezier曲线完成落在控制多边形的凸包内。

3、对称性:由Pi与Pn-i组成的曲线,位置一致,方向相反。

4、包络性:Pn (t)=(1-t)Pn-1 (t)+tPn-1 (t)

在CAD/CAM中,常采用Bezier曲线曲面,这样便于理解曲线/曲面。但采用Bezier形式的曲线曲面不能精确的表示二次曲线和二次曲面,如球体和圆。将多项式改为有理形式,不仅能精确表示二次曲线和二次曲面,且增加了设计的自由度。重复的进行两点线性插值,可以构造Bezier Curve。重复的进行两点有理插值,可以构造有理Bezier Curve。

与控制顶点类似,有理Bezter曲线上的点可映射为Bezter曲线上的点或对应的控制多边形上的点。在透视投影使用理形式与非有理形式产生相同投影时,有理Besier曲线曲面和有理B样条曲线曲面继承了Bezier曲线曲面和B样条曲线曲面的简单、优美的特性。这种形式,数学上的分析及几何特性的掌握了解都比其他4D空间(wx、wy、wz、w)方法和单纯的3D空间有理形式要简单和容易。

现在,有理曲线曲面不仅仅用于表示和构造二次曲线曲面。对有理曲线曲面的权因子该如何选取往往不很清楚,而且有理形式的计算比非有理形式复杂,但是,由于其构造特性,现在人们已经开始考虑有理Bezter和有理B样条曲线曲面的应用

参考资料:http://zhidao.baidu.com/q?word=bezier%C7%FA%CF%DF&ct=17&pn=0&tn=ikaslist&rn=10

 
 
 
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