函数(1) 其中R是z，w的有理函数(mt沁耐撇朗如n)，变量z，w满足一个特殊类型的代数方程 记=p幼。
解析(2) 这里P(z)是一个次数m)5的没有重根的多项式.当P 的次数。=3，4时，它是椭圆积分矽正p度泊加粤沮)，而 当m=5，6时有时也称为超椭圆的（ul如一翻ptic). 方程(2)对应于一个亏格为g的双叶紧R加m.扣 曲面(凡。匡旧曰的suxfaee)F，其中(m一劝/2，当爪为偶数时， g二人 t(m一l)/2，当机为奇数时，因此对超椭圆积分有g)2.函数z，w，从而R(z，w) 都是F上的单值函数.而作为定积分的积分式(1)由 F上的某个解析函数沿着一条可求长的路径L的曲线积分(c以劝址七盯加把邵司)给出，一般地其积分值完全 由L本身的起始点和终点所确定. 和Abel积分的一般情形一样，任何超椭圆积分均可表示成一些初等函数和具有特殊形式的第一、二、 三类典范超椭圆积分的线性组合.因此第一类正规超椭圆积分(normalll班姆r~e正ptic inte脚lof此Ihat kind) 是第一类超椭圆积分 r丫一1 .—a万_V二I。’二口。W 的线性结合，这里(z’一’/w)dZ(v二1，…，功对超椭圆曲面F的情况是第一类Abd微分(Abe位m dif企rent过) 的最简单的基.第二、三类Abe]微分及相应的超椭圆积分的显式表达式也可容易地算出(汇21).大体上 看，超椭圆积分理论与Abel积分的一般理论是一致 的，变量z，w的满足上述方程(2)的所有有理函数R份，w)形成一个亏格g的代数函数的袒娜卿琴(hyl茸r. 曲ptic石eld).亏格g一1或2的紧Rielr以面曲面分别有一个椭圆或超椭圆域.然而当亏格g=3或更大时，存在结构复杂的紧R记m出加曲面使得这一结论不再成立.
