代数曲线，又称紧黎曼面。 它是紧的2维定向实流形，也就是复的一维流形。 代数曲线是代数几何中最简单的一类研究对象。
每条代数曲线都自带了一个数值不变量－－－亏格g. 从实流形角度看，亏格就是其上“洞”的个数。
按照亏格的大小，我们可以将代数曲线分类。 比如：
g=0 就成为射影直线；
g=1 称为椭圆曲线；
g=2超椭圆曲线。。。。。。等等
具有同样亏格的曲线组成的集合成为曲线的模空间。 比如
g=0的曲线模空间是由一个点组成；
g=1的曲线模空间是上半平面。。。。。。等等
曲线的模空间是代数几何里最重要的一类几何对象。
我们可以考虑定义在代数曲线上的半纯函数。 半纯函数的零点和极点的集合是由有限个点组成。 我们把这个集合称为主除子。 更一般的，我们可以定义除子的概念，这里不再详述。
除子概念是曲线论里最基本的概念。 与其相关的一个重要结果就是所谓的Riemann－Roch 定理。 这个定理把分析和拓扑巧妙的联系起来，揭示出两者间的深刻关系。