弯曲空间
曲率－不处处为零的空间称为弯曲空间。初等平面几何所研究的对象是欧几里得空间（欧氏空间）。这种几何的最重要性质之一就是平行线公设：通过给定直线之外的任一点，可作一条直线与给定直线平行。这个公设在弯曲空间中并不适用。天体物理中常遇到的弯曲空间是黎曼空间。它的一种特例是常黎曼曲率空间。黎曼曲率 K等于常数1、-1和0的空间分别叫作黎曼球空间、罗巴切夫斯基空间和欧氏空间。所以，欧氏空间可看作黎曼空间的特例。局部黎曼空间可以看作由局部欧氏空间弯曲而来，而大范围的黎曼空间常常不可能从欧氏空间弯曲得到。从物理学的角度看，时空的弯曲性质依赖于物质的分布和运动。爱因斯坦的广义相对论给出时空与物质之间的关系和它们的运动规律。通常情况下，时空弯曲的量级是很小的。只有在黑洞或其他强引力场情况下，才有大的弯曲。
当你第一次在爱因斯坦的相对论里见到“弯曲空间”这 个字眼时，恐怕是会感到困惑的，真空怎么能是弯曲的呢？
你怎样能使它弯曲起来呢？ 为了弄明白这是怎么一回事，先让我们这样想象：在一 艘宇宙飞船里，有人在仔细观察附近的一颗行星。这颗行星 的表面完全被深深的海洋覆盖着，因此有着象台球那样的光 滑表面。再假设有一条船在那个行星的海洋上沿赤道线朝正
东方向行驶着。 现在再进一步设想一下，这位观察者根本看不见这颗行星，而只能看到这条船。当他研究这条船的运动路线时，他 会惊讶地发现这条船走的是一条圆弧。它最后会回到自己的 出发点，从而描绘出一个完整的圆周。
如果这条船改变路线，航道就会变得弯弯折折的，不再 是个简单的圆周。但是，不管它怎么改道，无论它怎么行进， 它的航线总是在一个球面上。 根据所有这些事实，这位观察者可能会推断出，这条船 被束缚在一个看不见的球体的表面上，而束缚它的力正是指 向球体中心的重力。要不，他就可能会认为，这条船被限制 在一块特殊的空间里面。这块空间是弯曲的，而且弯曲成一 个球形，从而迫使这条船走出这样的路线来。换句话说，我 们必须在一个力和一种空间几何形态之间作出选择。 你大概会认为这是一种想象出来的局面，但实际上并非 如此。地球这颗行星是沿着椭圆路线绕着太阳运行的，正象 一条船在某个看不见的曲面上行驶一样。至于这条椭圆路线， 我们是假设太阳和地球之间有一种引力来解释的，正是这种 引力使地球保持在它的轨道上。 不过，我们也可以从空间几何形态来考虑问题。我们不 是通过观察空间本身——空间是看不见的——而是通过考察 物体在这种空间里的运动方式，来确定这种空间的几何形态。 如果空间是“平坦的”，各种物体就会走直线从这个空间中 通过，如果空间是“弯曲的”，各种物体就会走出弯曲的路 线来。 一个具有确定质量和速度的物体，如果在离开其他质量 都很远的地方运动，那么，它的路径真的可以说是一条直线。 而当它走近另一个质量的时候，它的路径就会变得越来越弯 曲，显然，是质量把空间弯曲了。质量越大，离质量越近， 空间弯曲的曲率就越大。 把万有引力看作是一个力，看来要比用空间几何形态去 解释它方便得多，也自然得多。但是，如果在考虑光的行进 时，情形就会颠倒过来。按照比较旧的观点，光是不受重力 影响的，因为它没有质量。然而，当光在弯曲空间里穿过时， 它的路径也会弯曲起来。把光的速度考虑进来，它在太阳这 个巨大质量的附近经过时路径的弯曲就能计算出来了。 1919年，爱因斯坦的这一理论（发表于三年之前） 在一次日蚀期间受到了检验，人们把太阳位于空间某处时靠近太阳的某些恒星的位置，与太阳不在此处时这些恒星的位 置进行了比较。结果，爱因斯坦的理论站住脚了。用弯曲空 间来讨论万有引力，看来要比用力学术语更为精确。 不过，我们还应该提一下，1967年，人们对太阳的 形状所进行的精密测量，发现爱因斯坦的引力理论出了问题， 今后将会发生些什么情况？还得等着瞧。
