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代数特征值问题(数学名著译丛)

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  分類: 图书,科学与自然,数学,代数、数论、组合理论,
  品牌: J.H. 威尔金森

基本信息·出版社:科学出版社

·页码:676 页

·出版日期:2001年

·ISBN:7030093526

·条形码:9787030093523

·包装版本:1版

·装帧:平装

·开本:32

·正文语种:中文

·丛书名:数学名著译丛

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内容简介《代数特征值问题》是一本计算数学名著。作者用摄动理论和向后误差分析方法系统地论述代数特征值问题以及有关的线性代数方程组、多项式零点的各种解法,并对方法的性质作了透彻的分析。《代数特征值问题》的内容为研究代数特征值及有关问题提供了严密的理论基础和强有力的工具。《代数特征值问题》共分九章。第一章叙述矩阵理论,第二、三章介绍摄动理论和向后舍入误差分析方法,第四章分析线性代数方程组解法,第五章讨论Hermite矩阵的特征值问题,第六、七章研究如何

目录

第一章 理论基础

引言

定义

转置矩阵的特征值与特征向量

不相同的特征值

相似变换

重特征值与一般矩阵的标准型

亏损特征向量系

Jordan 经典的 标准型

初等因子

A的特征多项式的友矩阵

非减次矩阵

Frobenius 有理的 标准型

Jordan标准型与Frobenius标准型的关系

相抵变换

矩阵

初等运算

Smith标准型

矩阵的k行子式的最大公因子

A-I 的不变因子

三角标准型

Hermite矩阵与对称矩阵

Hermite矩阵的基本性质

复对称矩阵

用酉变换化成三角型

二次型

正定性的充要条件

常系数微分方程

对应于非线性初等因子的解

高阶微分方程

特殊形式的二阶方程

By=-Ay的显式解

形如 AB-I x=0的方程

向量的最小多项式

矩阵的最小多项式

Cayley-Hamilton定理

最小多项式与标准型的关系

主向量

初等相似变换

初等矩阵的性质

用初等相似变换化成三角标准型

初等酉变换

初等酉Hermite矩阵

用初等酉变换化成三角型

正规矩阵

可交换矩阵

AB的特征值

向量与矩阵的范数

从属的矩阵范数

Euclid范数与谱范数

范数与极限

避免使用矩阵无穷级数

第二章 摄动理论

引言

关于特征值连续性的Ostrowski定理

代数函数

数值例题

单特征值的摄动理论

对应特征向量的摄动

具有线性初等因子的矩阵

特征值的一阶摄动

特征向量的一阶摄动

高阶摄动

重特征值

Gerschgorin定理

基于Gerschgorin定理的摄动理论

情形1具有线性初等因子矩阵的单特征值1的摄动

情形2具有线性初等因子矩阵的重特征值1的摄动

情形3具有一个或多个非线性初等因子矩阵的单特征

值的摄动

情形4相应于非减次矩阵非线性因子的特征值的摄动

情形5当有一个以上 i- 幂次的初等因子且至

少有一个为非线性时, 特征值i的摄动

相应于非线性因子一般分布的摄动

根据Jordan标准型的特征向量的摄动理论

相应于重特征值 线性初等因子 的特征向量的摄动

摄动理论的限度

si之间的关系

计算问题的条件

条件数

矩阵A关于特征值问题的谱条件数

谱条件数的性质

条件数的不变性

非常病态的矩阵

实对称矩阵的摄动理论

非对称摄动

对称摄动

经典方法

秩为1的对称矩阵

特征值的极值性质

特征值的极小-极大性质

两个对称矩阵之和的特征值

实际应用

极小-极大原理的进一步应用

分隔定理

Wielandt-Hoffman定理

第三章 误差分析

引言

定点运算

内积的累加

浮点运算

误差界的简化表示

某些基本浮点计算的误差界

误差矩阵的范数的界

浮点运算中内积的累加

某些基本fl2

计算的误差界

平方根的计算

块浮点向量和矩阵

t位计算的基本限制

用相似变换作简化的特征值方法

基于初等非酉变换方法的误差分析

基于初等酉变换的方法的误差分析

酉变换的优越性

实对称矩阵

酉变换的限度

用浮点计算的平面旋转的误差分析

用平面旋转的乘法

用一系列平面旋转做乘法

近似的平面旋转乘积的误差

相似变换的误差

对称矩阵

定点运算的平面旋转

sin和cos的另一种算法

用近似的定点旋转左乘

用一系列平面旋转相乘 定点

一组近似平面旋转的计算乘积

相似变换的误差

关于误差界的总评述

浮点计算的初等Hermite矩阵

初等Hermite矩阵计算的误差分析

数值例子

用近似的初等Hermite矩阵左乘

用近似的初等Hermite矩阵序列的乘法

类似平面旋转的非酉初等矩阵

类似于初等Hermite矩阵的非酉初等矩阵

用非酉矩阵序列左乘

先验的误差界

正规性的偏离

简单的例子

后验的界

正规矩阵的后验的界

Rayleigh商

Rayleigh商的误差

Hermite矩阵

病态地靠近的特征值

非正规矩阵

完全特征系的误差分析

数值例子

限制可达精度的条件

非线性初等因子

近似的不变子空间

几乎正规矩阵

第四章 线性代数方程组的解法

引言

摄动理论

条件数

平衡矩阵

简单的实际例子

特征向量矩阵的条件

显式解

对矩阵条件的总评述

病态和几乎奇异的关系

t位运算的限制

解线性方程组的算法

Gauss消去法

三角形分解

三角形分解矩阵的结构

三角形矩阵元素的显式表达式

Gauss消去法的中断

数值稳定性

交换的重要性

数值例子

Gauss消去法的误差分析

用定点运算的摄动矩阵的上界

约化后的矩阵元素的上界

全主元素

部分主元素方法的实际过程

浮点误差分析

不选主元素的浮点分解

有效位的损失

流传的谬误

特殊形式的矩阵

在高速计算机上的Gauss消去法

对应不同的右端的解

直接的三角形分解

Gauss消去法和直接的三角形分解的关系

分解不唯一和失败的例子

有行交换的三角形分解

三角形分解的误差分析

行列式计算

Cholesky分解

对称非正定矩阵

定点运算Cholesky分解的误差分析

病态矩阵

用初等Hermite矩阵的三角形化

Householder三角形化的误差分析

用M''ji型初等稳定矩阵的三角形化

前主子式的计算

用平面旋转的三角形化

Givens约化的误差分析

正交三角形化的唯一性

Schmidt正交化

三角形化方法的比较

向后回代

三角形方程组的计算解的高精度

一般的方程组的解

一般矩阵的逆的计算

计算解的精度

没有小主元素的病态矩阵

近似解的迭代改进

迭代过程中舍入误差的影响

定点计算的迭代过程

迭代过程的一个简单例子

迭代过程的总评述

有关的迭代法

迭代过程的极限

迭代法的严格的调整

第五章 Hermite矩阵

引言

实对称矩阵的经典Jacobi方法

收敛率

收敛于固定的对角矩阵

顺序Jacobi方法

Gerschgorin圆

Jacobi方法的最后的二次收敛性

靠近的和重的特征值

数值例子

cos和sin的计算

更简单的转角计算方法

过关Jacobi方法

特征向量计算

数值例子

Jacobi方法的舍入误差

计算的特征向量的精确度

用定点计算的误差界

程序编制问题

Givens方法

在有两级存储设备的计算机上实现Givens方法

Givens方法的浮点误差分析

定点误差分析

数值例子

Householder方法

利用对称性

存储方案的研究

在有内. 外存储设备的计算机上实现Householder方法

用定点运算的Householder方法

数值例子

Householder方法的误差分析

对称三对角矩阵的特征值

Sturm序列性质

分半法

分半法的数值稳定性

数值例子

关于分半法的总评述

小特征值

靠近的特征值和小Bi

特征值的定点计算

三对角型的特征向量计算

特征向量显式表达式的不稳定性

数值例子

逆迭代

初始向量b的选择

误差分析

数值例子

靠近的特征值和小的Bi

对应重特征值的线性独立特征向量

计算特征向量的交替方法

数值例子

三对角矩阵特征问题的评论

Givens和Householder方法的完成

方法的比较

拟对称三对角矩阵

特征向量的计算

形如Ax=Bx和ABx=x的方程

数值例子

同时简化A和B为对角型

三对角矩阵A和B

复Hermite矩阵

第六章 化一般矩阵为压缩型

引言

Givens方法

Householder方法

存储方案的研究

误差分析

Givens方法与Householder方法的关系

初等稳定变换

置换的意义

直接约化矩阵为Hessenberg型

结合交换

数值例子

误差分析

有关的误差分析

Hessenberg矩阵的劣定

用M''ji型稳定矩阵化为Hessenberg型

Krylov方法

逐列Gauss消去法

实际的困难

对于某些标准的特征值分布的C的条件

级小于n的初始向量

实际的经验

广义Hessenberg方法

广义Hessenberg方法的失败

Hessenberg方法

实际的方法

Hessenberg方法与以前的方法的关系

Arnoldi方法

实际的考虑

再正交化的重要性

Lanczos方法

过程的故障

数值例子

实际的Lanczos方法

数值例子

非对称的Lanczos方法的总评述

对称的Lanczos方法

化Hessenberg矩阵为更压缩的形式

化下Hessenberg矩阵为三对角型

使用交换

小主元素的影响

误差分析

应用于下Hessenberg型的Hessenberg方法

Hessenberg方法与Lanczos方法的关系

化一般矩阵为三对角型

和Lanczos方法比较

化矩阵为三对角型的重新考察

化上Hessenberg型为Frobenius型

小主元素的影响

数值例子

关于稳定性的总评述

特殊的上Hessenberg型

直接确定特征多项式

第七章 压缩型矩阵的特征值

引言

显式多项式形式

显式多项式的条件数

某些典型的零点分布

Krylov方法的总评述

显式多项式的总评述

三对角矩阵

Hessenberg矩阵的行列式

舍入误差的影响

浮点累加

用正交变换计算

一般矩阵的行列式计算

广义特征值问题

间接确定特征多项式

Le Verrier方法

以插值为基础的迭代拄

渐近收敛率

多重零点

函数关系的逆

区间分半法

Newton法

Newton法与插值法的比较

三次收敛的方法

Laguerre方法

复零点

复共轭零点

Bairstow方法

广义的Bairstow方法

实际的考虑

舍入误差对渐近收敛性的影响

区间分半法

逐次线性插值

多重的和病态靠近的特征值

其他的插值法

使用导数的方法

接收零点的准则

舍入误差的影响

消除已计算的零点

Hessenberg矩阵的降阶

三对角矩阵的降阶

用旋转或稳定的初等变换降阶

降阶的稳定性

关于降阶的总评述

消除已计算的零点

消除已计算的二次因子

关于消除零点方法的总评述

渐近收敛率

大范围的收敛性

复零点

建议

复矩阵

含有独立参数的矩阵

第八章 LR和QR算法

引言

有复特征值的实矩阵

LR算法

As的收敛性证明

正定Hermite矩阵

复共轭特征值

引进交换

数值例子

修改过程的收敛性

初始矩阵的预先约化

上Hessenberg型的不变性

行和列同时运算

收敛的加速

结合原点的移动

选择原点的移动

矩阵降阶

关于收敛性的实际经验

改进的移动策略

复共轭特征值

修正的LR算法的缺点

QR算法

QR算法的收敛性

收敛性的正式证明

特征值的不同顺序

等模的特征值

LR算法的另一个证明

QR算法的实际应用

原点移动

As的分解

数值例子

实际的方法

避免复共轭位移

用初等Hermite变换的双步QR

计算的细节

As的分解

LR的双位移技术

对LR算法和QR算法的评述

多重特征值

降阶法的特殊用途

对称矩阵

LR算法与QR算法的关系

Cholesky LR算法的收敛性

QR算法的三次收敛性

Cholesky LR中的原点位移

Cholesky分解失败

三次收敛的LR方法

带状矩阵

带状矩阵的QR分解

误差分析

非对称带状矩阵

在QR算法中同时分解和复合

缩小带宽

第九章 迭代法

引言

幂法

单个向量的直接迭代

原点移动

舍入误差的影响

P的变化

P的特别选择

Aitken的加速方法

复共轭特征值

复特征向量的计算

原点移动

非线性初等因子

同时决定几个特征值

复矩阵

收缩法

用相似变换的收缩法

用不变子空间的收缩法

用稳定初等变换的收缩法

用酉变换的收缩法

数值稳定性

数值例子

酉变换的稳定性

非相似变换的收缩法

用不变子空间的一般约化

实际应用

梯级迭代

复共轭特征值的精度确定

十分靠近的特征值

正交化方法

正交化的梯级迭代

双迭代

数值例子

Richardson改进方法

矩阵平方法

数值稳定性

Chebyshev多项式的使用

关于直接迭代的总评述

逆迭代

逆迭代的误差分析

分析的总评述

特征向量的进一步改进

非线性初等因子

Hessenberg矩阵的逆迭代

退化情况

带形矩阵逆迭代

复共轭特征向量

误差分析

数值例子

广义特征值问题

近似特征值的变更

特征系的改进

数值例子

特征向量的改进

复共轭特征值

重的和非常靠近的特征值

对ACE程序的评述

参考文献

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