a,b,c中,a+b+c=o,abc=1。求证:a,b,c中至少一个大于3/2
解:由于a+b+c=0,abc=1
可分析出有两个数小于0,一个大于0
(原因是:a+b+c=o则有正有负,abc=1则负的一定是偶数个)
可得: a+b=-c , ab=1/c
根据韦达定理,可得两根为 a 和 b 的方程.
x^2 + cx + 1/c = 0 (x^2表示x的平方)
所以 "代尔塔"=c^2 - 4/c => 0 (大于等于0是因为a,b要有解,=>表示大于等于)
所以(c^3-4)/c=>0
1)当c>0时,可直接消掉分母中的c,于是得:c^3-4=>0
即 c^3=>4
所以 c=>三次根号4>3/2
(比较三次根号4与3/2的大小时,可以都3次方,前者3次方等于4,后者小于4,所以前者大于后者)
2)当c=0时,显然不符合abc=1,所以不合.
由于a,b,c是可以循环的,又因为必有一个大于0,所以就能证得必有一个数像c一样大于等与三次根号4,即大于3/2令a<0,b>0
一定有c<0
a+b+c=0 abc=1
a+c=-b ac=1/b
(a+c)^2=b^2 4ac=4/b
a-c=根号下(a+c)^2-4ac=根号下b^2-4/b=根号下b^3-4/b
因为根号下的式子一定要大于零,所以b^3-4/b>0
因为b>0,所以b^3-4一定要大于零才有意义:
b^3-4>0
b^3>4
b>三次根号下4(约是1.59)
所以一定大于3/2
要分三次证明a,b,c换三次顺序就行了