若a+b+c=0,a^3+b^3+c^3=0,
求a^1999+b^1999+c^1999的值
解:
a+b+c=0 ------------------1)
a^3+b^3+c^3=0 ---------------2)
把a+b=-c 代入2)式
所以 a^3 + b^3 = -c^3
(a+b)(a^2 - ab + b^2) = -c^3
-c(a^2 - ab + b^2) = -c^3
a^2 - ab + b^2 = c^2 ---------3)
根据a+b=-c可得: a^2 + 2ab + b^2 = c^2
所以 a^2 - ab + b^2 = c^2 = a^2 + 2ab + b^2
所以 3ab = 0 , 即 ab=0
由于a,b,c是三个可轮换数...
所以用同样的方法可得bc=0,ac=0
因为 a+b+c = 0
假设 a不等于0 , 则 根据 ab=0和ac=0得: b=0,c=0
此时a+b+c=0不成立...
所以 只有 a=b=c=0
所以 a^1999 + b^1999 + c^1999 = 0=a^1996*a^3+b^1996*b^3+c^1996*c^3
=0
因为a+b+c=0,a^3+b^3+c^3=0,
所以(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc
abc=0
a=0,或b=0,或c=0
所以当a=0时b+c=0，b=-c所以a^1999+b^1999+c^1999=0-c^1999+c^1999=0
同理可得a^1999+b^1999+c^1999=0
(a+b)(a^2-ab+b^2)=-c^3;
a+b=-c;
a^2+b^2-c^2=ab;
将a+b=-c两边平方得
a^2+b^2-c^2=-2ab;
ab=-2ab;
ab=0;
因为a,b等价可以替换同理可得a，b，c等价
所以a=b=c=0
