证明：对任意整数Ｋ，２Ｋ－１和２Ｋ＋１两数中至少有一个不能等于两整数的平方和．
证明：
假设：２Ｋ－１ = a*a + b*b————（1）
２Ｋ＋１ = c*c + d*d————（2）
由于：２Ｋ－1、２Ｋ＋1 均为奇数，
所以：a、b 一个为奇数、一个为偶数；因此：a*a + b*b = 4*m + 1
c、d 一个为奇数、一个为偶数；因此：c*c + d*d = 4*n + 1
（1）+（2）：4*K = a*a + b*b + c*c + d*d
K =（a*a + b*b + c*c + d*d）/4 = （m + n）+ 1/2
显然，这与 K 为整数相矛盾。所以，假设不成立。
因此，对任意整数Ｋ，２Ｋ－１和２Ｋ＋１两数中至少有一个不能等于两整数的平方和．证明: 设任意两个整数为M,N
(1)当M,N同为奇数时,
M^2＋N^2为偶数,
因2K－1和2K＋1为两个相邻的奇数,
而偶数≠奇数,
所以2K－1和2K＋1均不能表示为两个整数的平方和;
(2)当M,N同为偶数时,
M^2＋N^2也为偶数,
而偶数≠奇数,
所以2K－1和2K＋1均不能表示为两个整数的平方和;
(3)当M,N为一奇一偶时,不妨设M为奇数,N为偶数,
即M=2P＋1(P为整数),N=2Q(Q为整数)
则M^2＋N^2为奇数,
即(2P＋1)^2＋N^2为奇数;
因 (2P＋1)^2＋N^2
=4P^2＋4P＋1＋4Q^2
=2(2P^2＋2P＋2Q^2)＋1
或M^2＋N^2=2(2P^2＋2P＋2Q^2＋1)－1
即M^2＋N^2只能表示成2K－1和2K＋1形式中的一个.
综合(1),(2),(3)知,
2K－1和2K＋1中至少有一个不能表示为两个整数的和.
