求证:正方体ABCD-A'B'C'D'中,对角线B'D和平面A'BC'互相垂直.
设B'D'与A'C'的交点为E',设正方体的边长为1。
⑴则SIN∠E'BB'=B'E'/BE'=(√2/2)/√(1+1/2)=√3/3
而COS∠BB'D=BB'/B'D=1/√3
所以COS∠BB'D=SIN∠E'BB'，得∠BB'D+∠E'BB'=90°即B'D⊥BE'
⑵由`BB'⊥底面得BB'⊥A'C'且A'C'⊥B'D',因此A'C'⊥平面BB'DD'
故得B'D⊥A'C'
所以从⑴、⑵可知B'D⊥平面A'BC'。设B'D'与A'C'的交点为E',设正方体的边长为1。
⑴则SIN∠E'BB'=B'E'/BE'=(√2/2)/√(1+1/2)=√3/3
而COS∠BB'D=BB'/B'D=1/√3
所以COS∠BB'D=SIN∠E'BB'，得∠BB'D+∠E'BB'=90°即B'D⊥BE'
⑵由`BB'⊥底面得BB'⊥A'C'且A'C'⊥B'D',因此A'C'⊥平面BB'DD'
故得B'D⊥A'C'
所以从⑴、⑵可知B'D⊥平面A'BC'
其实现在的很多教材都进行了改革了,如果你用的是B版教材的话,我想我们可以用空间向量来解决这个问题.建立空间坐标系0-xyz
以A点为原点,AB为x轴AD为y轴,AA'为z轴,设边长为1
容易得到向量B'D垂直与A'B
BC'垂直与B'D
连接AB
因为AD⊥面AA'B'B
所以AD⊥A'B,又因为AB'⊥A'B(面是正方形)
所以A'B⊥面AB'D
所以A'B⊥B'D
同理可得A'C'⊥B'D
所以B'D⊥面A'BC'
这道题主要是证明体对角线⊥面对角线
设B'D'与A'C'的交点为E',设正方体的边长为1。
⑴则SIN∠E'BB'=B'E'/BE'=(√2/2)/√(1+1/2)=√3/3
而COS∠BB'D=BB'/B'D=1/√3
所以COS∠BB'D=SIN∠E'BB'，得∠BB'D+∠E'BB'=90°即B'D⊥BE'
⑵由`BB'⊥底面得BB'⊥A'C'且A'C'⊥B'D',因此A'C'⊥平面BB'DD'
故得B'D⊥A'C'
所以从⑴、⑵可知B'D⊥平面A'BC'。
用向量吧，只需将坐标写出来，几步就解决了，几何相对较复杂一点。
证明这种问题，就是要找到这条直线和这个平面中的两条相交直线垂直！
（１）根据题意划出图形
连接ＢＣ＇和ＡＢ＇
因为Ａ＇Ｂ⊥ＡＢ＇；Ａ＇Ｂ⊥ＡＤ
所以Ａ＇Ｂ⊥平面ＡＢ＇Ｄ
Ｂ＇Ｄ属于平面ＡＢ＇Ｄ；Ａ＇Ｂ属于平面ＡＡ＇Ｂ
所以Ｂ＇Ｄ⊥Ａ＇Ｂ（１）
同理可以证明Ｂ＇Ｄ⊥ＢＣ＇（２）
Ａ＇Ｂ属于平面Ａ＇ＢＢ＇ＢＣ＇；属于平面Ａ＇ＢＢ＇（３）
由（１）（２）（３）得：
Ｂ＇Ｄ⊥平面A'BC'
