1*1+2*2+3*3+4*4+5*5+。。。。。。+n*n=?
1×1＋2×2＋3×3＋……＋n×n=n(n＋1)(2n＋1)/6
来历是:用完全立方公式和等差数列求和公式推导
因为:
(n＋1)^3=n^3+3n^2+3n+1
在这个等式中,让依次取从1开始的n个连续的自然数,就得到n个相对应的等式,
2^3=1^3+3×1^2+3×1+1
3^3=2^3+3×2^2+3×2+1
4^3=3^3+3×3^2+3×3+1
………………
(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
将这个等式中等号两边的式子分别加起来,划去等号两边相同的数,就得到,
(n+1)^3=1+3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+3(1+2+3+……+n)+n
第二个括号内的和就是一个等差数列,和为n(1+n)÷2,于是
(n+1)^3=1+3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+3n(n+1)÷2+n
所以, 3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)= (n+1)^3－3n(n+1)÷2－(n+1)
=n^3+3n^2+3n+1－3n^2/2－3n/2－n－1
=n^3+3/2n^2+n/2
所以, 1^2+2^2+3^2+……+n^2=1/3(n^3+3n^2/2+n/2)
=n(n+1)(2n+1)/6
这个公式的用途很大,除了用于计算连续自然数的平方和外,在初高中的代数恒等变形中有着很大的作用.
(k+1)^3-k^3=3*k^2+3*k+1，用k=1，2，…，n代入得到n个等式：
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
3^3-2^3=3*2^2+3*2+1
4^3-3^3=3*3^2+3*3+1
…………
(n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1
将这n个等式两边相加，得到
(n+1)^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+…+n^2)+3*(1+2+3+…+n)+n
=3*(1^2+2^2+3^2+…+n^2)+3*n*(n+1)/2+n
由此解得：1^2+2^2+3^2+…+n^2=[(n+1)^3-1-3*n*(n+1)/2-n]/3
=n(n+1)(2n+1)/6。
这个公式的应用很多，无法详说了。
