例题：
a．鲍伯和海伦经过公园时，他们瞧见“尼康高校”的乐队正在做队列练习。
b．乐队排成四列纵队前进，一个名叫斯皮罗的可怜的小乐手单独排在最末一排。乐队的指挥很令人讨厌。
c．让乐队改排成三列纵队前进，结果又剩斯皮罗自己排在最后排。
d．同样的，到乐队排成两列纵队前进时，斯皮罗仍旧自己一排。
e．虽然没海伦什么事，她还是向指挥凑去。
海伦：我提个建议怎么样?
指挥：不行，小姐。请让开，别打扰我。
f．海伦：别以为我愿意理你！我只是想告诉你让他们排成五列纵队正好。
指挥：讨厌，我正想要试试呢。
当乐队排成五列纵地位时，每一排满好并且斯皮罗也不再自己排在最后一排了。
那么这个乐队总共有多少队员?
其实海伦只不过数出了乐队的总人数，发现它是5的倍数而已。但你怎样才能在没到现场的情况下，确定其人数呢?
哈!诀窍在这儿呢。当乐队排2、3、4列纵队时，总是剩余一个人，即斯皮罗。显而易见，有这种特征的最小数是2、3、4的最小公倍数再加1。而因为最小公倍数是12，所以任何一个比12的倍数大1的数当被2、3、4整除时都余1。
当乐队排五列纵队前进时，一个人也不多余。因此，人数又一定是5的倍数。所以，这个问题的答案一定是下列一串数的倍数：13、25、37、49、61、73、85、97、109、121、133、145……
对于一个学校乐队来说，从145往上太庞大了，所以，尼康高校的乐队或者有85人，或者有25人。至于确定是二者中的哪一个，我们目前缺乏足够的证据。
这个问题有一个很好变形，即除了每次以2、3、4路纵队前进时，最后一排都少一个人外，其它与上题都一样，问现在乐队有多少人?这又要我们写出一串比12的倍数少1，又能被5整除的数，它们是：35、95、155……
美国的难题专家萨姆洛德先生出了下面一个与上题有关、但更难一点的题：在纽约一个帕特里克节日里，一大群爱尔兰人正准备一年一度的游行，指挥者试图把队伍排成10、9、8、7、6、5、4、3、和2路整齐的队伍前进，但每种情况下最后一排者都少一个人，因此人们认为这个位置大概是给几个月前刚死的卡茜的灵魂留着的。最后，指挥者无可奈何命令队伍排单列纵队前进。假设游行队伍的总人数不超过5000人，那么参加此次游行的共计有多少人?这是一道寻找一系列数字的最小公倍数的极好的练习。这种情形下的最小公倍数是2520，如果去掉“卡茜”所占的位置，最终答案是2519。
如果每一次分配后剩下的人数是各不相同的，则问题似乎都比较困难。其实不然。比如追溯到十七世纪，印度算术课本上有这样一道难题：一位挎着一篮鸡蛋的妇女被疾驰而过的马所惊，鸡蛋篮掉在了地上，篮子里的鸡蛋全碎了。当问及篮子里有多少蛋时，她只能记起当她以2、3、4、5为一组数鸡蛋的数目时，每次分别剩余1、2、3、4只鸡蛋。那么她篮子里原来盛有多少鸡蛋呢?
这题乍看确实比上题难得多。实际上，它与我们做过的第二题的第一部分一样，因为在每种情形下，余数都比除数少1，因此与前面一样，它可以通过寻找最小公倍数再减去1来解决。
当余数与除数没有固定关系时，问题就会真正变得变杂了。下面是一道以这类题为基础，借助计算器来进行的魔术，你将发现它是既有趣又迷惑人的。
魔术师背对观众坐在一张椅子上，让某位观众心中随意想定一个不超过1000的数，然后用7去除这个数并报出余数；然后再用11去除原来想定的数，然后再用13去除，并都报出余数。
为加快这一魔术的进行，这位观众用袖珍计算器算出三个余数。其实这借助下面算法很容易解决：先完成除法，去掉商的整数部分，再将剩下的分数部分乘以原来的除数，得出的结果即为要找的余数。
魔术师不仅仅知道三个余数，他之所以能猜算观众想的那个数字，缘由在于他也使用了袖珍计算器和贴在计算器上面小纸条上的公式：即：
K=(715a+364b+924c)/1001(其中K为要求的数)
在这个公式中，a、b、和c分别代表三个被报出来的余数，所求的数就是通过此公式计算出来的余数。
中國餘數定理(孫子定理)
我國古代著名的數學書孫子算經中，有這樣一道名題：「今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？」俗稱「韓信點兵」。意指：「一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，適合這條件的最小的數是多少？」
明朝數學家程大位著算法統宗(1593年)把這個題的解法總結為一首孫子歌訣：「三人同行七十稀，五樹梅花二十一枝，七子團圓整半月，除百零五便得知。」意即，先分別求出能被5和7整除，而被3除餘1的數(70)，能被3和7整除而被5除餘1的數(21)，能被3和5整除而被7除餘1的數(15)。然後用被3、5、7除所得的餘數(即2、3、2)分別去乘這三個數，再相加，也就是：
70×2 + 21×3 +15×2=233
最後從233中減去3、5、7的最小公倍數105的2倍得23，即為所求的數。
孫子算經中的方法被世界各國公認是中國人最先發現，故名為中國剩餘定理。又叫孫子定理。它的原理和一般解法這裏不作介紹，現在僅介紹這類問題的一個特殊解法---列舉法。它對這類問題中不太複雜的題，既簡便又易掌握。
還是先以上述孫子算經中的那道名題為例來說明如何用列舉法求解。
先列出除以３餘２的數：
２，５，８，１１，１４，１７，２０，２３，２６，……
再列出除以５餘３的數：
３，８，１３，１８，２３，２８，３３，……
再列出除以７餘２的數：
２，９，１６，２３，３０，……
由上面三列數知，第一個公有的數是23，顯然就是我們所求的數。
另一解法為：因除3、7兩數都餘2，故3、7的最小公倍數(21+2)除以3、7都會餘2，且23除以5餘3，因此23即為所求。
再看一個例子：
例１.一個數除以３餘２，除以５餘３，除以７餘４，求適合條件的最小正整數。
解：除以３餘２的數為：
２，５，８，１１，１４，１７，…，５０，５３，５６，…
除以５餘３的數為：
３，８，１３，１８，２３，…，４８，５３，５８，…
除以７餘４的數為：
４，１１，１８，２５，３２，３９，４６，５３，６０，…
顯然，上三列數中第一個公有的數是53，它就是適合題設條件的最小正整數。
由上兩例不難看出，用列舉法解這類問題的步驟是：(1)先列出各個,「被幾除餘幾」的數串；(2)這些數串中第一個公有的數就是所求數。但是，當問題稍微複雜時，就要寫出長的數(如例1)，顯得繁雜。為了克服這個弱點，我們也可以在列舉法的前提下作一些簡化或變形。下面我們舉幾例說明。
除以３餘２的數為：
２，５，８，１１，１４，１７，…
除以５餘３的數為：
３，８，１３，１８，２３，…
顯然上列兩串數中第一個公有的數８，滿足「被３除餘２，且被５除餘３」。
因３和５的最小公倍數是15，所以，
15+8，30+8，45+8，60+8，……
都滿足「被３除餘２，且被５除餘３」。現在只需在這串數中找到被7除餘4的最小數53，即為所求。
小試身手：
1.有一個三位數除以5餘２，除以6餘4，除以７餘4，這樣的三位數中，最大的是幾？
2.有一個數，除以３餘２，除以７餘3，問這個數除以21餘幾？
3.某數除以3餘1，除以4餘2，除以5餘3，除以6餘4，求適合條件的最小正整數。
参考资料：http://w3.mcjhs.tp.edu.tw/math/t401/%A7%F5%AC%EE%C2E/%A4%A4%B0%EA%BEl%A6%A1%A9w%B2z.doc
