柯西—施瓦茨不等式
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数学上，柯西—施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式，是一条很多场合都用得上的不等式，例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。不等式以奥古斯丁路易柯西(Augustin Louis Cauchy)，赫尔曼阿曼杜斯施瓦茨(Hermann Amandus Schwarz)，和维克托雅科夫列维奇布尼亚科夫斯基(Виктор Яковлевич Буняковский)命名。
柯西—施瓦茨不等式说，若x和y是实或复内积空间的元素，那麽
<math>\big| \langle x,y\rangle \big|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle</math>。
等式成立当且仅当x和y是线性相关。
柯西—施瓦茨不等式的一个重要结果，是内积为连续函数。
柯西—施瓦茨不等式有另一形式，可以用范的写法表示：
<math> |\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|\, </math>。
[编辑]证明
实内积空间的情形：
注意到y = 0时不等式显然成立，所以可假设<math>\langle y,y\rangle</math>非零。对任意<math> \lambda \in \mathbb{R} </math>，可知
<math> 0 \leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle</math>
<math> = \langle x-\lambda y,x \rangle - \lambda \langle x-\lambda y,y \rangle</math>
<math> = (\langle x,x\rangle - \lambda \langle x,y \rangle)- \lambda (\langle x,y \rangle - \lambda \langle y,y \rangle)</math>
<math> = (\|x\|^2- \lambda \langle x,y \rangle)- \lambda (\langle x,y \rangle - \lambda \|y\|^2)</math>。
现在取值<math> \lambda = \langle x,y \rangle \cdot \|y\|^{-2}</math>，代入后得到
<math> 0 \leq \|x\| ^2 - \langle x,y \rangle^2 \cdot \|y\|^{-2}</math>。
因此有
<math> \big| \langle x,y \rangle \big| \leq \|x\| \|y\| </math>。
复内积空间的情形
证明类上。对任意<math> \lambda \in \mathbb{C} </math>，可知
<math> 0 \leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle</math>
<math> = \langle x-\lambda y,x \rangle - \overline\lambda \langle x-\lambda y,y \rangle</math>
<math> = (\|x\|^2 - \lambda \overline{\langle x,y \rangle}) - \overline\lambda (\langle x,y \rangle - \lambda \|y \|^2)</math>。
现在取值<math> \lambda = \langle x,y \rangle \cdot \|y\|^{-2}</math>，代入后得到
<math>0 \leq \|x\|^2 - \big| \langle x,y \rangle \big|^2 \cdot \|y\|^{-2}</math>，
因此有
<math> \big| \langle x,y \rangle \big| \leq \|x\| \|y\| </math>。
[编辑]特例
对欧几里得空间Rn，有
<math>\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)</math>。
对平方可积的复值函数，有
<math>\left|\int f^*(x)g(x)\,dx\right|^2\leq\int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\left|g(x)\right|^2\,dx</math>。
这两例可更一般化为赫尔德不等式。
在3维空间，有一个较强结果值得注意：原不等式可以增强至等式
<math>\langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle = |\langle x,y\rangle|^2 + |x \times y|^2</math>。
[编辑]参见
三角不等式
设α、β为欧氏空间V中的向量，则有|（α,β）|=<|α|*|β|
等号当且仅当α、β线性相关时成立.
