(A+B)方=A方+B方+2AB=25
所以A方+B方=16
所以C=4
因为 (A+B)的平方-2AB=C的平方
将Ａ＋Ｂ＝５，ＡＢ＝４．５代入得C的平方=16
解得C=4或C=-4因为-4不合题意舍去
所以C=4
勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、 中国、埃及、巴比伦、印度等） 对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?） （右图） 于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。 （左图为欧几里得和他的证明图）
中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问："我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量， 那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？" 商高回答说："数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一条直 角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候， 那么它的斜边'弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。" 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期， 比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。 所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。
在稍后一点的《九章算术》一书中（ 约在 公元50至100年间） （右图） ，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。” 。 《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图” ，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明 （右图） 。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a） 2 。于是便可得如下的式子：
4×（ab/2）+（b-a） 2 =c 2
化简后便可得： a 2 +b 2 =c 2
亦即：c=（a 2 +b 2 ） (1/2)
赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。
以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展， 只是具体图形的分合移补略有不同而已。 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽 （右图） 用了“出入相补法”即剪貼证明法，他把勾股為边的正方形上的某些区域剪下來(出)， 移到以弦為边的正方形的空白区域內(入)，結果刚好填滿，完全用图解法就解決了問題。 （左图为刘徽的勾股证明图）
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。
(A+B)的平方-2AB=C的平方
将Ａ＋Ｂ＝５，ＡＢ＝４．５代入得C的平方=16
解得C=4或C=-4因为-4不合题意舍去
所以C=4
