设 α,β是正无理数,且满足 1/α + 1/β =1,那么两个数列:
[α],[2α],[3α], … ,[nα],…
[β],[2β],[3β], … ,[nβ],…
合并起来恰好不重复不遗漏地构成全体正整数.
(注:[x]表示不超过x的最大整数,即x的整数部分.)
參考答案:此定理叫做瑞雷定理。
为了证明该定理，我们需要证明两步：
命题1.对于每一个正整数m,不存在正整数k,h使得[kα]=[hβ]=m
证明：
假定对于某个m有命题1不成立。
那么有m<kα<m+1,n<hβ<n+1
k/(m+1)<1/α<k/m,h/(m+1)<1/β<h/m.
两式相加，(k+h)/(m+1)<1<(k+h)/m
于是m<k+h<m+1，显然不成立.
命题2.对于每一个正整数n，若不存在正整数k使得[kα]=n,那么必存在正整数h满足[hβ]=n
证明：
kα<n,(k+1)α>n+1
故k/n<1/α<(k+1)/(n+1)
1减去上式，得(n-k)/(n+1)<1/β<(n-k)/n
故n<(n-k)β<n+1
所以[(n-k)β]=n,存在h=n-k。
至此，瑞雷定理得证。
