求证:
1!+2*2!+3*3!+4*4!+......+n*n!=(n+1)!-1
參考答案:用数学归纳法证。
(i)n=1时显然成立;
(ii)n>=2时,
假设有n=k时,1!+2*2!+3*3!+4*4!+......+k*k!=(k+1)!-1成立,
则当n=k+1时,左边=1!+2*2!+3*3!+4*4!+......+k*k!+(k+1)*(k+1)!=(k+1)!-1+(k+1)*(k+1)!=(k+2)*(k+1)!-1=(k+2)!-1
满足右边=(n+1)!-1。
故,1!+2*2!+3*3!+4*4!+......+n*n!=(n+1)!-1对于n属于正整数恒成立