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參考答案:第十七届“希望杯”全国数学邀请赛
参考答案及评分标准
初中二年级 第2试
一．选择题(每小题4分)
二．填空题(每小题4分)
三、解答题
21．(1)如图1，连结HF．由题知四边形EFGH是平行四
边形，所以
又
所以
所以 (3分)
所以△AHE和△DHG都是等腰直角三角形，故∠EHG= ，四边形EFGH是矩形．
易求得
所以四边形EFGH的周长
为2 ，面积为 ．(5分)
(2)如图2，作点H关于AB边的对称点 ，连结 ，交AB于 ，连结
H．显然，点E选在 处时．EH+EF的值最小，最小值等于 .
(7分)
仿(1)可知当AE≠AH时，亦有
(8分)
所以
因此，四边形EFGH周长的最小值为2 ．
(10分)
22．设A、B两个港口之间的距离为L，显然
(1分)
(1)若小船在23：00时正顺流而下，则小船由A港到达下游80千米处需用
即19：00时小船在A港，那么在3：00到19：00的时间段内，小船顺流行驶的路程与逆流行驶的路程相同，而所用的时间与速度成反比，设小船顺流行驶用了t小时，则逆流行驶用了(16一t)小时，所以
解得 t=6 (5分)
即顺流行驶了
由于
所以A、B两个港口之间的距离是120千米．
(7分)
(2)若小船在23：00时正逆流而上，则小船到达A港需再用
即小船在
内顺流行驶的路程与逆流行驶的路程相同，而所用的时间与速度成反比，设小船顺流行驶用了 小时，则逆流行驶用了 小时，所以
解得 (12分)
即顺流行驶了
由于
所以A、B两个港口之间的距离可能是100千米或200千米． (14分)
综上所述，A、B两港口之间的距离可能是100千米或120千米或200千米． （15分)
23．(1)第3次操作后所得到的9个数为
它们的和为 (4分)
(2)由题设知 =5，则
(10分)
(3)因为
所以
(15分)
