理科－学海大联考——除过英语其余全要。
參考答案:这里有数学
学 海 大 联 考
2005届高三第三次联考数学
命题：湖北荆门龙泉中学 郑胜 审定：武汉市学海教科所
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间为120分钟.
参考公式：Pn（k）=CnkPk（1-P）n-k
如果事件A、B互斥,那么 球的表面积公式
P（A＋B）=P（A）十P（B） S=4πR2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P（A·B）=P（A）·P（B） 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P， V＝34πR3
那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U＝R，集合A＝(1，＋∞)，集合B＝(－∞，2)。则 U(A∩B)＝
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－∞，1)∪[2，＋∞)
C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．(－∞，1]∪(2，＋∞)
2．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4项的系数是首项为－2、公差为3的等差数列{an}的第k项，则k＝
A．22 B．19 C．20 D．21
3．已知数列{an}，如果a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…，是首项为1，公比为13的等比数列，则an＝
A．32(1－13n) B．32(1－13n－1) C．23(1－13n) D．23(1－13n－1)
4．在边长为1的正△ABC中，若 ， ， ，则 · ＋ · ＋ · ＝
A．32 B．－32 C．3 D．0
5．已知集合A＝{f(x)|f(x+1)＝－f(x)，x∈R}，B＝{f(x)|f(x+2)＝－f(－x)，x∈R}，若f(x)＝sin x，则
A．f(x)∈A但f(x) B B．f(x)∈A且f(x)∈B
C．f(x) A但f(x)∈B D．f(x) A且f(x) B
6．有3个相识的人某天乘同一火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有2人在同一节车厢相遇的概率是
A．29200 B．725 C．29144 D．718
7．把点(3，4)按向量 平移后的坐标为(－2，1)，则y＝2x的图象按向量 平移后的图象的函数表达式为
A．y＝2x－5＋3 B．y＝2x－5－3 C．y＝2x＋5＋3 D．y＝2x＋5－3
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在A1D上且A1E＝2ED，点F在AC上且CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是
A．相交不垂直 B．相交垂直
C．平行 D．异面
9．椭圆上一点A看两焦点的视角为直角，设AF1的延长线交椭圆于B，又|AB|＝|AF2|，则椭圆的离心率e＝
A．－2＋22 B．6－3
C．2－1 D．3－2
10．直角三角形ABC的斜边AB＝2，内切圆半径为r，则r的最大值是
A．2 B．1 C．22 D．2－1
11．如图，直线Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的右下方有一点(m，n)，则Am+Bn＋C的值
A．与A同号，与B同号 B．与A同号，与B异号
C．与A异号，与B同号 D．与A异号，与B异号
12．设方程2x＋x＋2＝0和方程log2x＋x＋2＝0的根分别为p和q，函数f(x)＝(x＋p)(x＋q)+2，则
A．f(2)＝f(0)<f(3) B．f(0)<f(2)<f(3) C．f(3)<f(0)＝f(2) D．f(0)<f(3)<f(2)
第II卷(非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上．
13．等差数列{an}中，a1＝3，前n项和为Sn，且S3＝S12。则a8＝_________.
14．对于－1<a<1，使不等式(12) <(12)2x+a－1成立的x的取值范围是_________.
15．正三棱锥P－ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为23，则正三棱锥的底面边长是____________.
16．给出下列图象
其中可能为函数f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋cx＋d(a，b，c，d∈R)的图象的是_____．
答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
13．__________________ 14．__________________
15．__________________ 16．__________________
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分12分）（理）已知复数z1＝cos3 2＋isin3 2，z2＝cos 2－isin 2， ∈[0， 2]。
⑴求|z1＋z2|；
⑵设f( )＝cos2 －2x|z1＋z2|(x∈R)的最小值为g(x)，求g(x)的表达式。
(文)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象在点(1，f(1))处切线的斜率为0。
⑴求a，b的关系式；
⑵若f(x)在R上是增函数，求a，b的值．
18．（本题满分12分）如图，△AOE和△BOE都是边长为1的等边三角形，延长OB到C使|BC|＝t(t>0)，连AC交BE于D点．
⑴用t表示向量 和 的坐标；
⑵(理)求向量 和 的夹角的大小。
(文)当 ＝32 时，求向量 和 的夹角的大小。
19．（本题满分12分）一条直角走廊宽1.5米，如图所示，现有一转动灵活的手推车，其平板面的矩形宽为1米，问要想顺利推过直角走廊，平板车的长度不能超过多少米？
20．(本题满分12分）如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F．
⑴求证：平面A1EF⊥平面B1BCC1；
⑵求直线AA1到平面B1BCC1的距离；
⑶当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等．
21．(本题满分l2分)设an＝1＋q＋q2＋…＋qn－1(n∈N＋，q≠±1)，An＝ a1＋ a2＋…＋ an
⑴用q和n表示An；
⑵当－3<q<1时，求 An2n的值；
⑶又设b1＋b2＋…＋bn＝An2n，求证数列{bn}是等比数列。
（文科只做⑴⑶，理科全做）
22.(本题满分14分)(理)已知函数f(x)＝x·ax－1(a>0，x∈R) ．
⑴当a>1时，求f(x)的单调区间和值域，并证明方程f(x)＝0有唯一根；
⑵当0<a≤1时，讨论方程f(|x|)＝0的实根的个数情况，并说明理由。
(文)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F且倾角为30°的直线l与双曲线的左、右两支分别相交于A、B两点。设|AF|＝ |BF|，若2≤ ≤3，求双曲线C的离心率e的取值范围．
高三·三联·数学·参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C A B B B D C B D B A
二、填空题13．0_ 14．x≤0或x≥2 15．3_ 16．①③
三、解答题17．（12分）解：（理）⑴|z1＋z2|＝|(cos3 2＋cos 2)＋i(sin3 2－sin 2)|
＝(cos3 2＋cos 2)2＋(sin3 2－sin 2)2＝2＋2(cos3 2cos 2－sin3 2sin 2)
＝2+2cos2 ＝2|cos ………………………………………………………………4分
∵ ∈[0， 2]，∴cos ≥0，故|z1＋z2|＝2cos 。……………………………………5分
⑵f( )＝cos2 －2x·2cos ＝2cos2 －4x·cos －1＝2(cos －x)2－2x2－1……7分
∵ ∈[0， 2]，∴cos ∈[0，1]
若0≤x≤1，则当cos ＝x时，f( )有最小值－2x2－1，即g(x)＝－2x2－1；……8分
若x<0，则当cos ＝0时，f( )有最小值－1，即g(x)＝－1；……………………9分
若x>1，则当cos ＝1时，f( )有最小值1－4x，即g(x)＝1－4x。………………10分
∴g(x)＝ ……………………………………………………12分
(文)⑴f ′(x)＝3x2＋2ax＋b……………………………………………………………… 分
由f ′(1)＝0得3＋2a＋b＝0 ∴2a＋b＋3＝0………………………………………… 分
由条件f ′(x)≥0对x∈R恒成立，即3x2＋2ax＋b≥0对x∈R成立，而2a＋b＋3＝0… 分
∴△≤0得(a＋3)2≤0…………………………………………………………………… 分
∴a＝－3，b＝3………………………………………………………………………… 分
18．解：⑴ ＝(12(t+1)，－32(t+1))，………………………………………………2分
∵ ＝t ，∴ ＝t ， ＝11+t ，又 ＝(12，32)，
＝ － ＝(12t，－32(t+2))；∴ ＝(t2(t+1)，－3(t+2)2(t+1))，………………4分
∴ ＝(2t+12(t+1)，－32(t+1))………………………………………………6分
⑵（理）∵ ＝(t－12，－3(t+1)2)，
∴ · ＝2t+12(t+1)·t－12＋32(t+1)·3(t+1)2＝t2+t+12(t+1)………………………………8分
又∵| |·| |＝(2t+1)2+12(t+1)·(t－1)2+3(t+1)22＝t2+t+1t+1…………………………10分
∴cos< , >＝ · | |·| |＝12，∴向量 与 的夹角为60°。……12分
（文）由已知t＝12，∴ ＝(23，－33)， ＝(－14，－334)
∴ · ＝－16＋34＝712……………………………………………………………8分
又∵| |＝73，| |＝274＝72………………………………………………10分
∴cos< , >＝71276＝12，∴向量 与 的夹角为60°。………………12分
19．（12分）解：如图，延长AB交直角走廊于A1、B1，设∠CDE1＝ ，则∠B1A1E1＝ ， ∈(0， 2)，
∵CD＝AB＝A1B1－AA1－BB1，而A1B1＝1.5(1sin ＋1cos )，AA1＝cot ，BB1＝tan ，
∴CD＝1.5(1sin ＋1cos )―cot ―tan ＝3(sin +cos )－22sin cos …6分
令sin ＋cos ＝t，则t∈(1，2]。令f(t)＝3t－2t2－1＝3t＋1＋1t2－1………………………10分
则当t＝2时，两项均取得最小值，即 ＝ 4时，f(t)min＝32－2
即CDmin＝32－2，故平板车的长度不能超过32－2米……………………………12分
20．(12分)⑴CC1‖BB1，又BB1⊥A1E，∴CC1⊥A1E，而CC1⊥A1F，∴CC1⊥平面A1EF，∴平面A1EF⊥平面B1BCC1………………………………………………………………2分
⑵作A1H⊥EF于H，则A1H⊥面B1BCC1，∴A1H为A1到面B1BCC1的距离，在△A1EF中，A1E＝A1F＝2，EF＝2，∴△A1EF为等腰Rt△且EF为斜边，∴A1H为斜边上中线，可得A1H＝12EF＝1…………………………………………………………………………8分
⑶作A1G⊥面ABC于G，连AG，则A1G就是A1到面ABC的距离，且AG是∠BAC的角平分线，A1G＝1…………………………………………………………………………10分
∵cos∠A1AG＝cos45°cos30°＝63，∴sin∠A1AG＝33，∴A1A＝133＝1……………………12分
21．(12分)解：⑴∵q≠1，∴an＝1－qn1－q………………………………………………文2分
∴An＝1－q1－q ＋1－q21－q ＋…＋1－qn1－q
＝11－q[( ＋ ＋…＋ )－(q ＋q2 ＋…＋qn )]
＝11－q[( ＋ ＋…＋ )－( ＋q ＋q2 ＋…＋qn )]…………………文5分
＝11－q[2n－(1＋q)n](q≠1) ………………………………………………理4分 文6分
⑵An2n＝11－q[1－(1＋q2)n]，∵－3<q<1，∴|1＋q2|<1，∴ An2n＝11－q…………理6分
⑶∵b1＋b2＋…＋bn＝An2n＝11－q[1－(1＋q2)n]，
∴b1＋b2＋…＋bn－1＝11－q[1－(1＋q2)n－1]
∴bn＝11－q(1＋q2)n－1·(－1＋q2＋1)＝12·(1＋q2)n－1(n≥2) ……………………………10分
当n＝1时，b1＝A12＝12适合上式，∴bn＝12(1＋q2)n－1(n∈N＋) ………………………11分
∴bn+1bn＝1＋q2≠0(∵q≠－1)，∴数列{bn}是等比数列。………………………………12分
22．(14分)解：(理)⑴f ′(x)＝ax＋x·axlna＝(1＋xlna)ax(a>1)…………①
由f ′(x)>0得1＋xlna>0，解得x>－1lna；由f ′(x)<0得1＋xlna<0，解得x<－1lna
∴f(x)的单调增区间为(－1lna，＋∞)，单调减区间为(－∞，－1lna)…………………2分
当x＝－1lna时，f(x)min＝f(－1lna)＝－1lna·a－1lna－1＝－1lna·1e－1＝－1elna－1，
又 f(x)＝－1， f(x)＝＋∞，∴f(x)的值域为[－1elna－1，＋∞)……………4分
又∵f(0)＝－1<0， f(x)＝＋∞，又f(x)在[0，＋∞)上递增，
∴方程f(x)＝0在[0，＋∞)上有唯一实根………………………………………………6分
而 f(x)＝－1<0，∴方程f(x)＝0在(－∞，0)上无实根
∴方程f(x)＝0有唯一实根，y＝f(x)在(－∞，0)上函数值y均小于0………………7分
⑵∵函数f(|x|)为偶函数，故只需讨论x≥0时，方程f(|x|)＝0亦可求f(x)＝0的实根的个数。
Ⅰ.当a＝1时，方程f(x)＝0有唯一实根x＝1；………………………………………8分
Ⅱ.当0<a<1时，由①式，同理可知x≥0时，f(x)的单调增区间为(0，－1lna)，单调减区间为(－1lna，＋∞)。当x＝－1lna时，f(x)max＝－1elna－1，……………………………9分
又∵f(0)＝－1<0， f(x)＝－1，故有
当－1elna－1<0即0<a< 时，方程f(x)＝0无实根；
当－1elna－1＝0即a＝ 时，方程f(x)＝0有唯一实根；
当－1elna－1>0即 <a<1时，方程f(x)＝0有两个实根；…………………………12分
综上可知：
当0<a< 时，方程f(|x|)＝0无实根；
当a＝ 或1时，方程f(|x|)＝0有两个实根；
当 <a<1时，方程f (|x|)＝0有四个实根。…………………………………………14分
(文)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|＝ |BF|，又B在AF上，∴ ＝ ，
∴(c－x1，－y1)＝ (c－x2，－y2)，∴y1＝ y2，…………①
把l的方程：y＝33(x－c)即x=3y+c代入x2a2－y2b2＝1中，
整理得(3b2－a2)y2＋23b2cy+b4＝0，…………………………………………4分
∴y1+y2＝－23b2c3b2－a2…………②，y1y2＝b43b2－a2…………③…………………7分
把①代入②、③得
∴(1+ )y2＝－23b2c3b2－a2…………④， y22＝b43b2－a2…………⑤
④2/⑤消去y2得(1+ )2 ＝12c23b2－a2＝12c23c2－4a2＝12e23e2－4………………………9分
设f( )＝(1+ )2 ＝ ＋1 ＋2(2≤ ≤3)，易知f( )在区间[2，3]上递增，
∴f(2)≤f( )≤f(3)即92≤f( )≤163，………………………………………………11分
∴92≤12e23e2－4≤163解得163≤e2≤12即433≤e≤23
∴双曲线C的离心率e的取值范围为[433，23]。……………………14分
