已知|x|+|y|+√(x^2+y^2)=2,求代数式|xy|的取值范围。
參考答案:由|x|+|y|+√(x^2+y^2)=2,有
|x|+|y|-2=-√(x^2+y^2),两边平方,化简得
|x|+|y|=|xy|/2+1
又因平方平均值≥代数平均值,即
√[(x^2+y^2)/2]≥(|x|+|y|)/2
有√(x^2+y^2)≥(|x|+|y|)/√2
故2=|x|+|y|+√(x^2+y^2)≥(1+1/√2)(|x|+|y|)=(1+1/√2)(|xy|/2+1)
化简得|xy|≤6-4√2,当且仅当|x|=|y|=2-√2时取等号
|xy|的取值范围为[0,6-4√2]